Klausuraufgabe

[nobody]

Hallo,
ich habe Probleme bei der Bearbeitung folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion ft (x)=t*x+1+e/e^x
Für welche Einsetzungen für t hat der Graph Nullstellen?
Mit ft (x)=0 gehts offensichtlich nicht....
Irgendwie steh ich da aufm Schlauch!!

[nobody]

Also, wenn ich das richtig verstanden habe, steht t*x +1+e im Zähler, diesen setzt Du gleich Null und erhälst so x=-1-e /t als Nullstelle.

[nobody]

Dann hätte er ne Klammer drum schreiben sollen, so denke ich, dass nur das e im Zähler steht und der Rest davor.
Allerdings ist mir das mit dem e nicht ganz klar, vielleich hat er den Exponent einmal vergessen.

[nobody]

Ja, hab ich auch gedacht, aber wenn der Exponent nicht gerade x ist, bleibt die Nullstelle ja vom Schema her gleich.

[doppelelch]

Das würde ich auch gerne erstmal genauer wissen, was nun alles im Zähler und was im Nenner steht.
Wenn der einzige Bruch in diesem Term

e/(e^x) wäre, dann wäre es wieder reichlich kompliziert!

Gruß

de

[nobody]

Genau, dann müßte man ja t*ex *x+ex +e gleich Null setzen.

[doppelelch]

Genau!

[nobody]

So ähnlich? Wenn man t*x+1 auf den Bruch stellen will, muß man ja mit dem Nenner, also mit ex erweitern und erhält ex *(t*x+1) doies plus e/ex ist doch (nur Zähler): ex *t*x +ex +e

[nobody]

Sorry für den verwirrenden Term, aber so schwer ist es doch nicht:
erster Summand: t*x
zweiter Summand: 1
dritter Summand: e/(e^x)
e steht im Zähler und e^x im Nenner!
Mit den Nullstellen im pos. X-Bereich komm ich ja klar, aber was ist mit Nullstellen im negativen x-Bereich? Es gibt definitiv welche, nur bei welchem t treten diese auf?

[doppelelch]

Sorry, der Nachfrage, aber hier werden immer mal wieder gerne ein paar entscheidende Klammern vergessen. Und dann macht man sich nen Kopp und hinterher ist doch alles ganz anders.

So...dann isses tatsächlich so, wie dus ursprünglich geschrieben hattest! Quasi der Gau...mmhhh.

Also am 0-setzen kommst Du nicht vorbei:

0=t*x+1+e(1-x)

Dann würde ich umformen:

-t*x-1=e(1-x)

Und mir jetzt einfach mal die zugehörigen zwei Graphen anschauen

f1(x)=-t*x-1

und

f2(x)=e(1-x)

Was Du dann suchst sind Schnittpunkte dieser Graphen.

Es gibt dann denke ich die Möglichkeit, dass die Gerade f1 den Funktionsgraphen f2 keinmal, einmal, zweimal schneidet, und das ist abhängig von der Steigung von f1.

In dem Falle, dass f1 den Graphen f2 tangiert hast Du genau eine Lösung - das wäre der Grenzfall. (Achso: Wenn -t>0 ist, schneidet f1 den Graphen von f2 natürlich auch genau einmal. Das sind die "trivialen" Lösungen im positiven Bereich). Wenn nun f1 flacher wird bekommst Du eine, wenn f1 steiler wird zwei Lösungen.
Um jetzt Deine Ausgangsfrage zu beantworten, müsste dann nichts anderes gemacht werden, als die Tangente an f2 zu bestimmen, die zugleich durch (0/-1) läuft. Die Steigung dieser Tangente wäre dann das -t für das es nur eine Lösung gibt. Dann müsstest Dus haben.

Ist jetzt nur ein grob skizzierter Ansatz. Habe es noch nicht selbst konkretisiert. Vielleicht funktionierts am Ende gar nicht.

Ich melde mich einfach nochmal, aber Du kannst ja auch schon mal aktiv werden.

Gruß

de


So:

Das ganze läuft dann immer auf folgende Gleichung hinaus, die es zunächst zu lösen gilt (aber vielleicht hast Du ja noch was Gescheiteres herausbekommen!)

e(1-z)*(1+z)=-1

(z steht für den x-Wert des Berührpunktes der Tangente f1)

Diese Gleichung ist, denke ich, auch wieder nur numerisch lösbar (z.B. Newton-Verfahren (hallo secret ;) ) oder Picard-Iteration)
Mit dem Wert ist dann die Steigung (-t) zu bestimmen, damit haste dann den (-t)-Wert.


Soweit erstmal. Will zunächst das feedback abwarten.

[nobody]

Danke für die ausführliche Antwort!
Das mit der Steigung ist ne gute Idee!
Bisher habe ich immer versucht, die Schnittpunkte der beiden Graphen zu ermitteln, führt aber zu nichts...
Werde das mal alles durchrechnen.
Das mit deiner Gleichung "e(1-x)*(1+x)=-1" ist mir noch nicht ganz klar?

[doppelelch]

Also ich komme auf einen numerisch ermittelten Wert für z von

-1,120028239 (mehr Stellen hat mein TR nicht. Picard-Iteration mit -5 als Startwert)

Schaue gleich mal, wies weitergehen würde, mom

Ich komme dann auf folgende Tangentengleichung:

y=-8,331372754*x-1

D.h. für t<-8,3313.... hätte die Gleichung wieder Lösungen (nämlich deren zwei) und für t=8,... genau eine bzw. zwei zusammenfallende ;) . Nicht zu vergessen, die jeweils eine Lösung, die sich für alle t>0 ergibt.
Uuups...vorsicht mit dem Vorzeichen. Die Tangentensteigung ist ja (-t).
D.h. für alle t<0 und >(=)8,33.... müsste das Ding Nullstellen haben.


Zu Deiner Bemerkung, dass Du mit dieser Gleichung noch nix anfangen kannst:

Die Gleichung ist auch nicht sofort ersichtlich. Fange einfach mal an zu rechnen, dann wirst Du (oje...hoffentlich) auf das gleiche kommen.
Achso...und...lies Dir meinen vorhergehenden Beitrag nochmal kurz durch..habe noch einige Kleinigkeiten geändert, die Dir vielleicht doch das Verständnis erleichtern. Ich weiß nicht, wann Du den Beitrag gelesen hast!

Gruß

de

[nobody]

Also irgendwie versteh ich da was nich:
Wie kommst du zu der x-Koordinate an dem Graphen? Ich bekomme für die x-Koordinate immer x=1-ln(t)
Übrigens, Picard Iteration/Newton-Verfahren sagt mir gar nüscht!

[doppelelch]

Die x-Koordinate an dem Graphen kennt man erstmal gar nicht, deshalb setze ich die =z (vorläufig unbekannt)

Die Ableitung von f2 an der Stelle z wäre dann die Steigung der gesuchten Tangente.

f2´(z)=-e(1-z)

Damit wird die allgemeine Tangenten-Geraden-Gleichung

y=m*x+b (Hauptform einer Geraden)

zu

y=-e(1-z)*x+b

Nun noch die Info, dass die Gerade durch (0/-1) verlaufen soll verwenden. Damit ergibt sich b=-1

Damit wird dann die Gleichung zu

y=-e(1-z)*x-1

Außerdem soll die Gleichung ja durch den Berührpunkt (z/f2(z)) verlaufen. Also gilt die nachfolgende Gleichung, die zur Bestimmung von z herangezogen werden kann. Kennt man dann z, so kennt man die Steigung f2´(z)!

e(1-z)=-e(1-z)*z-1

Und diese Gleichung führt dann zu

e(1-z)*(1+z)=-1

Voila.

[doppelelch]

Du kennst weder Newton, noch Picard...mmhh..ist ja keine Schande, wahrlich nicht!

Aber..nur zu meiner Preintierung: Woher kommt diese Aufgabe? Bist Du noch Schüler oder Student oder,oder......

Je nachdem, was das ist, gäbe es nun verschiedene Möglichkeiten des weiteren Vorgehens!


Und....x=1-ln(t) Übersehe ich da gerade etwas Entscheidendes, was die ganze Sache rehblich vereinfachen würde??
Für was soll Dein x stehen, und wie kommst DU auf diese Gleichung??


Gruß

de

[nobody]

Ahhhhh, jetzt hab ich es verstanden!
Übrigens z = -1.1200282389876412294846879430144301277965366 :-)

Diese Aufgabe stammt aus einer Leistungskursklausur (13.2). Soll angeblich voll easy sein (naja, im NAchhinein).


Vieeeeeleeeeen Dank für deine Mühe!!

[doppelelch]

LOL .... leistungsstarkes Rechenprogramm! Ich habs halt mit nem schnöden TR gemacht :) .

Bidde und Gruß

de

(Aber wie haste denn das jetzt hinbekommen ohne Kenntnis von Newton oder Picard?)

[buba]

Derive spuckt raus:

z = <nobr>-1,1</nobr>2002823501730375192400074509073440456466113077322771345378966872873795354947500514700836266311114596915716512583209968529720296859834707502867618944...

;)

[doppelelch]

@buba: SUBBBBER!

:D

@brain: voll easy...naja. Also dann noch irgendwelche Iterationen durchlaufen lassen zu müssen...ich weiß nicht. (Aber vielleicht haben wir ja auch einen einfacheren Ansatz übersehen. Ich sehe ihn auf jeden Fall noch immer nicht. Aber Mathematik ist bekanntlich die Kunst, das Rechnen zu vermeiden...und wer weiß!?)
Ansonsten stimmts schon. Der Ansatz fällt einem fast in den Schoß.


Gruß

de