Ableitungsfunktion

[nobody]

Die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x ist ja bekanntlich f'(x) = -1/x²
Könnte mir das mal jmd anhand einer nachvollziebaren Rechung beweißen? Würd mir echt weiterhelfen :)
Danke schonmal!

[bm]

f(x) = 1/x = x-1

allg Formel :

f(x) = xa

f`(x) = a * x(a-1)

Muss man das beweisen?

[nobody]

Originalnachricht erstellt von bm
f(x) = 1/x = x-1

allg Formel :

f(x) = xa

f`(x) = a * x(a-1)

Muss man das beweisen?

Ja, ich muss es beweisen mit Hilfe von (f(xNull - h) - f(xNull))/h
sprich entsprechend einsetzten und dann nach f'(x) = -1/x² umformen.

[buba]

Differenzialfunktion


f(x) - f(x0)
lim ------------
x→x0 x - x0

1/x - 1/x0 -1
---------- liefert nach einfachen Umformungen ------
x - x0 x·x0

Lässt man x gegen x0 laufen, erhält man -1/x02, qed.

[nobody]

Originalnachricht erstellt von buba
Differenzialfunktion


f(x) - f(x0)
lim ------------
x→x0 x - x0

1/x - 1/x0 -1
---------- liefert nach einfachen Umformungen ------
x - x0 x·x0

Lässt man x gegen x0 laufen, erhält man -1/x02, qed.


Danke, aber könnstest Du mir diese "einfachen" Umforumungen mal hinschreiben! :D

[buba]

Mei, die heutige Jugend... :no:


1/x - 1/x0 (x0 - x)/(x·x0) (-1)(x - x0)/(x·x0) -1
---------- = --------------- = -------------------- = ------
x - x0 x - x0 x - x0 x·x0

[nobody]

Originalnachricht erstellt von buba
Mei, die heutige Jugend... :no:


1/x - 1/x0 (x0 - x)/(x·x0) (-1)(x - x0)/(x·x0) -1
---------- = --------------- = -------------------- = ------
x - x0 x - x0 x - x0 x·x0


DANKE! :kiss1: :)

[Biohazard]

Ich finde den Beweis von bm viel einfacher ;)
Aber wenn der Lehrer von euch die Differentiation per Hand sehen will, kann man wohl nichts machen...
("Die gute alte h-Methode")

[nobody]

Originalnachricht erstellt von Biohazard
Ich finde den Beweis von bm viel einfacher ;)
Naja, das war wohl kein Beweis, sondern eher ein Postulat. ;)

[Biohazard]

Originalnachricht erstellt von Last of the Sane
Naja, das war wohl kein Beweis, sondern eher ein Postulat. ;)
Was auch immer. :D
Was ich meinte ist, es braucht jedenfalls in dieser Form nicht mehr bewiesen zu werden, da nach der Umformung vom Bruch zur negativen Potenz der Weg eigentlich klar sein sollte. Darum sprach ich von einer Beweisführung. :rolleyes:

Und ein Postulat... Hm. Sollte ein Postulat nicht als Schluß aus einer Tatsache folgen und diese zu erklären suchen? Es war eher ein Satz, weniger ein Postulat, wenn du mich fragst. :p :cool:

[doppelelch]

Macht ja jetzt eigentlich keinen wesentlichen Unterschied, power, aber da Deine Fragestellung auf die andere Definition/Schreibweise des Differentialquotienten abzielt (der mit h--->0), schlage ich auch hierfür nochmal einen kurzen Beweis vor (Beweis klingt etwas hochgestochen, ist wohl eher ein Beweis-chen oder eine Herleitung)

Du setzt also f(x)=1/x in die Formel des Differentialquotienten ein und erhälst:




1 1
----- - -------
x0+h x0
lim(h-->0) ------------------------
h



x0-x0-h
= lim(h-->0) -----------
(x0+h)*x0*h




-h
= lim(h-->0) ------------------
wie eben



-1
= lim(h-->0) --------
(x0+h)*x0


= - (1/x02)






voila

[Biohazard]

@doppelelch:
Ich glaube zwar, daß es im Nenner nicht (x0-h), sondern (x0+h) heißen muss, aber am Ergebnis ändert sich ja dadurch nichts. (Oder bin ich es, der sich grade irrt?)

[doppelelch]

uuups, ja latürnich...:rolleyes:
danke bio

Habs jetzt noch ändern können.

[Biohazard]

Originalnachricht erstellt von doppelelch
Habs jetzt noch ändern können.
Keine Ursache. :D Ich wollte auch sichergehen, daß ich das Rechnen noch nicht verlernt habe ;)

Was das Ändern von Beiträgen betrifft, ist das meines Wissens bis zu 24 Stunden nach Erstellen noch möglich, wenn ich mich nicht irre...