Vielen Dank schonmal. für schnelle Antworten wär ich super dankbar :/
doppelelch
25.01.2002, 20:15
Ich weiß ja nicht, ob Dir das Grundprinzip klar ist, mit dem Du solche Aufgaben lösen könntest.
(Vielleicht gehts ja in diesen Fällen auch nicht so einfach, habe jetzt leider keine Zeit, mir das näher anzuschauen)
Aber ich würde einfach mit dem Ansatz
z = x + iy
beginnen und dann jede Gleichung in zwei getrennte Einzelgleichungen aufsplitten.
Gleichung 1: Vegleich aller Realteile
Gleichung 2: Vergleich aller imaginären Teile
Wie gesagt, vielleicht hast dus ja schon so versucht und Du denkst Dir jetzt: "Na super, toller Tipp :rolleyes:"
Kannst Dich ja nochmal melden, obs hilfreich war!
nobody
25.01.2002, 20:28
hm, leider hab ich genau das problem die gleichungen in die arithmetische darstellungsform(z=a+bi)zu brignen. um dies zu erreichn braucht man irgendwie die Moivre'sche Formel und die trigonometrische Dartellung. jeweils einzeln sind mir die dartsellungsformen komplett verständlich nur die hin und her konvertierung gelingt mir nicht. :((
ich hab sogar die ergebnisse, bloß komme nicht auf den lösungsweg.
bei 1. z0=1 und z1= -i
2. z0=1+i z1=-1+i z2=-1-i z3= 1-i
3. z0=1+7i z1=-6+8i z2=-7+i z3= 0
doppelelch
26.01.2002, 13:33
Soo, habe mal schnell zwischendrin Zeit!
Also zu Aufgabe 1)
Das kannst Du tatsächlich mit dem Ansatz
z=a+ib
rechnen!
Für die beiden anderen Aufgaben hatte ich bisher keine Zeit, sieht aber so aus, als müsste man da in der Tat mit der Eulerschen Formel rangehen:
Nun also zu Aufgabe 1:
Du setzt, wie gesagt, z=a+ib (a,b aus R)
und erhälst dann
(a+ib)2+(-1+i)*(a+ib)-i=0
Löse alle Klammern auf und sortiere etwas um:
a2-b2-a-b + i*(2ab-b+a-1)=0
D.h. sowohl Real- als auch Imaginärteil müssen jeweils für sich 0 ergeben. Damit bekommst Du zwei Gleichungen:
a2-b2-a-b = 0 (Geichung A)
und (zugleich!)
2ab-b+a-1=0 (Gleichung B)
Aus der Summe von Gleichung A lässt sich (a+b) ausklammern. Gleichung A wird damit zu:
(a+b)*[(a-b)-1]=0
D.h. entweder
(a+b)=0 und damit a=-b ("Zwischenergebnis" 1)
oder
(a-b)-1=0 und damit a=b+1 ("Zwischenergebnis" 2)
Diese "Zwischenergebnisse lassen sich jede für sich in Gleichung B einsetzen:
Mit "Zwischenergebnis" 1 wird Gleichung B zu:
-2b2-2b-1=0
Diese Gleichung hat in R keine Lösung. Da b reell sein sollte, führt dieser Ansatz also zu keiner weiteren Lösung für z!
Mit "Zwischenergebnis" 2 wird Gleichung B zu
(nach einigen kleineren Zusammenfassungen):
2b2+2b=0
also zu den Lösungen
b(1)=0 (damit folgt aus der Gleichung für das "Zwischenergebnis" 2: a=b+1 schließlich auch a(1)=1 und damit z=1+0*i=1)
und
b(2)=-1 (es folgt a(2)=0 und damit z=0+(-1)*i=-i)
So da sind sie nun die Lösungen.
Du meintest auch, Du hättest Schwierigkeiten die verschiednene Darstellungen für komplexe Zahlen ineinander zu überführen!
Da hilft im Wesentlichen die Eulersche Formel bzw. die Moivre-Formel:
Euler: z=eix=cosx+isinx (für komplexe Zahlen mit dem Betrag 1)
bzw. |z|*eix=|z|*cosx+|z|*isinx
Moivre kennste ja.
Soll nun also z.B. |z|*eix in die Schreibweise z=a+ib überführt werden, wendest Du einfach die Eulersche Formel an und berechnest |z|*cosx(=a) und |z|*sinx(=b) und fertig.
Umgekehrt ists etwas schwieriger. Du kennst z=a+ib und suchst nun die Darstellung |z|*eix.
Dann benötigst Du zunächst |z|.
Es gilt |z|=Wurzel aus (z*(z-quer)) (Entspricht übrigens auch der Länge des Vektors z in der Gaußschen Zahlenebene, die über Pythagoras ermittelbar wäre!)
Nun suchst Du noch den Winkel x, den dieser Vektor in der Gaußschen Zahlenbene mit der x-Achse einschließt.
(Ich hoffe die vektorielle Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene ist Dir geläufig. Wenn nicht sag kurz Bescheid)
Entweder den überlegst Du Dir wieder anhand der Vektordarstellung und einfacher sin/cos-Rechnung, oder Du klammerst in Deiner Darstellung z=a+ib den zuvor berechneten Betrag aus, dann steht da sowas wie: z=|z|*(c+id)
und dann müssten c=cosx und d=sinx sein.
(Es sollte ein identisches x herauskommen! Denn die Methode lässt mehrere Lösungen in jeder Einzelgleichung zu!)
Soo, in die Aufgaben 2 und 3 habe ich mal kurz hineingeschnuppert. Das sieht in der Tat nach Moivre aus!
Also Ansatz z=|z|*eix
Du suchst dann |z| und x.
Bin dran. Weiß aber nicht, ob ichs das Wochenende nochmal schaffe reinzuschauen.
Soweit erstmal Gruß
de
doppelelch
26.01.2002, 15:27
Sooo...Aufgabe 2 folgt auf dem Fuße!
Ansatz, wie bereits angedeutet,
z=|z|*eix
daraus folgt:
z4=|z|4*ei*4*x=(!) -4
Der Betrag der rechts stehenden (reellen und damit auch komplexen) Zahl -4 ist 4.
D.h. Es muss gelten
|z|4=4
und damit
z= vierte Wurzel aus (4) = Wurzel aus (2)
Nun gilt es noch den Winkel x zu finden.
Es muss nun noch gelten (nach Teilung der Ausgangsgleichung durch 4)
ei*4*x=-1
Nun die Formel von Moivre anwenden:
cos(4x)+isin(4x)=-1
Für welchen Winkel ist der Cosinus=-1 und der Sinus zugleich 0?
Dies ist für die Winkel Pi+k*2*Pi der Fall (k aus den ganzen Zahlen!)
Also muss gelten
4x=Pi+k*2*Pi
Teilen durch 4 ergibt
x=Pi/4+k/2*Pi
und damit vier verschiedene Lösungen (alle weiteren Lösungen sind dann mit vorhergehenden identisch)
1.) für k=0 ergibt sich x=Pi/4 damit
z(1)=Wurzel(2)*ei*Pi/4=
(nach Euler - eigentlich nur ein Spezialfall von Moivre)
Wurzel(2)*(cos(Pi/4)+isin(Pi/4))=Wurzel(2)*[ 1/Wurzel(2)+i* 1/Wurzel(2) ]=1+i
2.) für k=1 ergibt sich x=(3/4)*Pi
entsprechend eine zweite Lösung
3.) für k=2....
und 4.) für k=3...
Aufgabe 3)
Als Ansatz würde ich die linke Seite zunächst zu einer unbekannten, gesuchten komplexen Zahl zusammenfassen - nennen wir sie y!
Also: y=z+3-4i
Bekommen wir dann y heraus, lässt sich daraus wiederum z gewinnen.
D.h. die Gleichung wird damit zu
y4=(4+3i)4
Weiter bin ich jetzt noch nicht gekommen.
Viel Spaß bis dahin mit dem Nachvollziehen.
Gruß
de
doppelelch
26.01.2002, 16:08
So weiter bei Aufgabe 3:
Mit dem Ansatz y4=(4+3i)4 gilt |y|=|4+3i|=5
Welchen Winkel schließt (4+3i) mit der x-Achse ein? Das Ergebnis nenne ich der Übersicht halber einfach im Folgenden x! (Immer im Hinterkopf habend, dass x bekannt ist, da bereits berechnet!)
Es ergibt sich ein Winkel von
x=arctan(3/4) oder =arcos(4/5) oder =arcsin(3/5)
(Je nach Verfahren der Berechnung)
Wählen wir nun als Ansatz y=|y|*ei*t
dann ergibt sich ferner nun also die Gleichung
|y|4*ei*t=5*ei*4*x
Damit also |y|=5
und
4*t=4*x+k*2*Pi wobei k wieder alle ganzen Zahlen
sein können
daraus folgt für t:
t=x+(k/2)*Pi
Mit Hilfe der Eulerschen Formel erhält man damit als allgemeine Lösung für y:
y=5*{cos(x+(k/2)*Pi)+isin(x+(k/2)*Pi)}
(Wie gesagt: x kenne wir! Dahinter verbergen sich arcsin(3/5) bzw. (was dasselbe ist) arcos(4/5))
Mit Hilfe der Additionstheoreme für cos und sin (und der gleichzeitigen Einsetzung des Wertes für x) können wir nun
P.S.: Achso, das "Würg" habe ich einfach überhört, sind doch nette Aufgaben :D
P.P.S.: Ohh---tatataaaa, das war ja der 100te Beitrag --- uups. Da muss ich wohl ne flasche Sekt köpfen heute Abend ;)
nobody
27.01.2002, 23:26
vielen dank für die mühe, die du dir gemacht hast! btw, mein prof sagt immer wir sollen immer die mathematische eleganz der aufgaben bewundern ! hehe
thnx a lot, ein auf morgen gespannt wartender phrekamorph ^__^
doppelelch
28.01.2002, 00:01
Habe ehrlich gesagt, als ich diese Aufgaben durchgegangen bin, tatsächlich ihre Eleganz bewundert!
Schöne Aufgaben - ausgesprochen schön!
nobody
02.10.2002, 16:52
Originalnachricht erstellt von doppelelch
Umgekehrt ists etwas schwieriger. Du kennst z=a+ib und suchst nun die Darstellung |z|*eix.
Dann benötigst Du zunächst |z|.
Es gilt |z|=Wurzel aus (z*(z-quer)) (Entspricht übrigens auch der Länge des Vektors z in der Gaußschen Zahlenebene, die über Pythagoras ermittelbar wäre!)
Nun suchst Du noch den Winkel x, den dieser Vektor in der Gaußschen Zahlenbene mit der x-Achse einschließt.
(Ich hoffe die vektorielle Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene ist Dir geläufig. Wenn nicht sag kurz Bescheid)
Entweder den überlegst Du Dir wieder anhand der Vektordarstellung und einfacher sin/cos-Rechnung, oder Du klammerst in Deiner Darstellung z=a+ib den zuvor berechneten Betrag aus, dann steht da sowas wie: z=|z|*(c+id)
und dann müssten c=cosx und d=sinx sein.
(Es sollte ein identisches x herauskommen! Denn die Methode lässt mehrere Lösungen in jeder Einzelgleichung zu!)
konnte nicht alles ganz nachvollziehen..aber ginge es mit diesen formeln bei kenntnis von z=a+bi nicht viel einfacher |z| und L zu berechnen ? -->
|z|=a^2+b^2
cosL=a/|z|
sinL=b/|z|
L lässt sich dann natürlich über die arcusfuntkion berechnen udn entspricht dem x aus deinem z=|z|*e^ix.
nobody
02.10.2002, 18:08
Originalnachricht erstellt von doppelelch
So weiter bei Aufgabe 3:
Mit dem Ansatz y4=(4+3i)4 gilt |y|=|4+3i|=5
Welchen Winkel schließt (4+3i) mit der x-Achse ein? Das Ergebnis nenne ich der Übersicht halber einfach im Folgenden x! (Immer im Hinterkopf habend, dass x bekannt ist, da bereits berechnet!)
Es ergibt sich ein Winkel von
x=arctan(3/4) oder =arcos(4/5) oder =arcsin(3/5)
(Je nach Verfahren der Berechnung)
Wählen wir nun als Ansatz y=|y|*ei*t
dann ergibt sich ferner nun also die Gleichung
|y|4*ei*t=5*ei*4*x
Damit also |y|=5
und
4*t=4*x+k*2*Pi wobei k wieder alle ganzen Zahlen
sein können
daraus folgt für t:
t=x+(k/2)*Pi
Mit Hilfe der Eulerschen Formel erhält man damit als allgemeine Lösung für y:
y=5*{cos(x+(k/2)*Pi)+isin(x+(k/2)*Pi)}
(Wie gesagt: x kenne wir! Dahinter verbergen sich arcsin(3/5) bzw. (was dasselbe ist) arcos(4/5))
Mit Hilfe der Additionstheoreme für cos und sin (und der gleichzeitigen Einsetzung des Wertes für x) können wir nun