nebben
11.10.2005, 00:26
hi
wie wird n^2+3n+2 --> (n+1)(n+2)?
und wie wird E(k=1 bis n)n(n+1)/2 --> E(k=1 bis n)2k-1=n^2 ?
mfg
wie wird n^2+3n+2 --> (n+1)(n+2)?
und wie wird E(k=1 bis n)n(n+1)/2 --> E(k=1 bis n)2k-1=n^2 ?
mfg
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Sw00p
11.10.2005, 00:50
das 1. ist ne binomische Formel:
(n+1)(n+2)=n*n+n*2+n*1+1*2=n²+3n+2
also einfach ausmultiplizieren
das 2.:
also falls du meinst, dass die Summe von 1 bis n n(n+1)/2 ist:
du addierst immer das letzte und das 1. Element, dann das vorletzte und 2. und so weiter. Die Summe von 2 solchen Elementen ist immer (n+1). Wenn n jetzt gerade ist, dann gibt es genau n/2 solche Summen. Also ist die Gesamtsumme (n/2)*(n+1). Wenn die Anzahl der Elemente ungerade ist, dann hast du (n-1)/2 solche Summen, die (n+1) ergeben und einmal (n+1)/2, was das Element in der Mitte ist. Und (n+1)*(n-1)/2+(n+1)/2=n(n+1)/2.
Das ganze wird offensichtlicher, wenn du dir ein Beispiel anschaust:
Zahlen von 1 bis 10 addieren (n=10):
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+10+2+9+3+8+4+7+5+6=11+11+11+11+11=5*11
n/2*(n+1)
Zahlen von 1 bis 11 addieren (n=11):
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=1+11+2+10+3+9+4+8+5+7+6=
12+12+12+12+12+6=5*12+6=(n-1)/2*(n+1)+(n+1)/2
=10*12/2+6=10*6+6=11*6=11*12/2=n(n+1)/2
das 3.:
also die Summe über 2k-1 von k=1 bis n
die zahlen sind hier 1 3 5 7 9 11 ...
wenn man sich das ganz nun geometrisch vorstellt, hat man zuerst 1 "Kästchen". Dann werden 3 neue "gemalt", so dass wieder ein quadrat entsteht, dass jetzt aus 2x2 Kästchen besteht. Dann werden 5 neue "gemalt", so dass ein 3x3 Quadrat entsteht. usw.
Damit man ein altes Quadrat immer genau um eins in der Breite und der Höhe erweitern kann, muss man in der Länge der Seite das Quadrat oben und an der Seite ergänzen und dann noch das "Kästchen", was die neue Ecke bildet, "ausmalen". Wenn die alte Seitenlänge k ist, braucht man also 2*k für die Seiten + 1 für die Ecke. In der von dir beschriebenen Summe ist k aber immer schon 1 größer, weswegen wir immer 2*(k-1) Kästchen für die Seiten brauchen. --> Anzahl der neuen Kästchen ist 2(k-1)+1=2k-1.
Ich hoffe, dass war anschaulich genug :)
Soweit, wie ich weiß gibt es übrigens kein perfektes "Kochrezept" um eine explizite Schreibweise aus so einer Summe zu machen. Man muss da halt ein bisschen kreativ sein und rumprobieren.
So, jetzt hab ich aber erstmal genug geschrieben
(n+1)(n+2)=n*n+n*2+n*1+1*2=n²+3n+2
also einfach ausmultiplizieren
das 2.:
also falls du meinst, dass die Summe von 1 bis n n(n+1)/2 ist:
du addierst immer das letzte und das 1. Element, dann das vorletzte und 2. und so weiter. Die Summe von 2 solchen Elementen ist immer (n+1). Wenn n jetzt gerade ist, dann gibt es genau n/2 solche Summen. Also ist die Gesamtsumme (n/2)*(n+1). Wenn die Anzahl der Elemente ungerade ist, dann hast du (n-1)/2 solche Summen, die (n+1) ergeben und einmal (n+1)/2, was das Element in der Mitte ist. Und (n+1)*(n-1)/2+(n+1)/2=n(n+1)/2.
Das ganze wird offensichtlicher, wenn du dir ein Beispiel anschaust:
Zahlen von 1 bis 10 addieren (n=10):
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+10+2+9+3+8+4+7+5+6=11+11+11+11+11=5*11
n/2*(n+1)
Zahlen von 1 bis 11 addieren (n=11):
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=1+11+2+10+3+9+4+8+5+7+6=
12+12+12+12+12+6=5*12+6=(n-1)/2*(n+1)+(n+1)/2
=10*12/2+6=10*6+6=11*6=11*12/2=n(n+1)/2
das 3.:
also die Summe über 2k-1 von k=1 bis n
die zahlen sind hier 1 3 5 7 9 11 ...
wenn man sich das ganz nun geometrisch vorstellt, hat man zuerst 1 "Kästchen". Dann werden 3 neue "gemalt", so dass wieder ein quadrat entsteht, dass jetzt aus 2x2 Kästchen besteht. Dann werden 5 neue "gemalt", so dass ein 3x3 Quadrat entsteht. usw.
Damit man ein altes Quadrat immer genau um eins in der Breite und der Höhe erweitern kann, muss man in der Länge der Seite das Quadrat oben und an der Seite ergänzen und dann noch das "Kästchen", was die neue Ecke bildet, "ausmalen". Wenn die alte Seitenlänge k ist, braucht man also 2*k für die Seiten + 1 für die Ecke. In der von dir beschriebenen Summe ist k aber immer schon 1 größer, weswegen wir immer 2*(k-1) Kästchen für die Seiten brauchen. --> Anzahl der neuen Kästchen ist 2(k-1)+1=2k-1.
Ich hoffe, dass war anschaulich genug :)
Soweit, wie ich weiß gibt es übrigens kein perfektes "Kochrezept" um eine explizite Schreibweise aus so einer Summe zu machen. Man muss da halt ein bisschen kreativ sein und rumprobieren.
So, jetzt hab ich aber erstmal genug geschrieben
nebben
11.10.2005, 01:37
danke für 1 und das 2 .
zu 3:
wie bilden 3 Kästchen ein Quadrat?
warum besteht dieses 3 Kästchen-Quadrat dann aus 2x2Kästchen?
Wie sieht das 2x2 Kästchen Quadrat aus?
zu 3:
wie bilden 3 Kästchen ein Quadrat?
warum besteht dieses 3 Kästchen-Quadrat dann aus 2x2Kästchen?
Wie sieht das 2x2 Kästchen Quadrat aus?
Sw00p
11.10.2005, 11:57
ich hab mal nen kleines bild angehängt. das Rote sind immer die neuen kästchen und das Schwarze die alten. Wie man sieht, kann man dann jedes quadrat mit 2k-1 Kästchen um 1 in jede Richtung vergrößern.
nebben
11.10.2005, 12:07
super.