also wir haben diesen formel jetzt schon wiederholt vorgesetzt bekommen, jedoch ein beweis wurde uns nie geliefert und ich weiß immer ganz gerne warum etwas so ist wie es ist. könnte mir jemand vorführen wie der beweis für die summenformel geht ?!
vielen dank im vorraus, diablo
doppelelch
24.01.2002, 13:40
Also los gehts:
Fangen wir mal mit einer endlichen Summe an, die nach dem Muster aufgebaut ist!
Nennen wir diese Summe Sn. Dann steht da
Sn = a0 + a1 + a2+...+an
Diese Gleichung wird mit a durchmultipliziert, dann steht da:
a*Sn = a1+ a2+...+ an+1
Jetzt rechnest Du:
Sn-a*Sn
das ergibt rechts
a0-an+1
also
1-an+1
Klammere links Sn aus
und teile beide Seiten der Gleichung durch (1-a)
und dann steht da
1-an+1
Sn = -----
1-a
Ist nun a betragsmäßig kleiner als 1, konvergiert die Folge Sn(Denn um eine solche handelt es sich jetzt) gegen das was du kennst.
nobody
24.01.2002, 13:46
danke für die schnelle antwort :)
allerdings ähm wie komm ich dann auf unsere form, also
S = a/1-q ?
doppelelch
24.01.2002, 13:55
Schätze mal, "eure Form" ist ausgemachter Blödsinn!
doppelelch
24.01.2002, 13:56
Meinst Du
Sn = 1/(1-q)
Das wäre dann wiederum korrekt!
nobody
24.01.2002, 14:05
.. also:
dein beweis ist jetzt für die summe der ersten n-glieder... ich meinte unendlich.
grundlage hierfür ist...
an+1 / an = q
dann s = lim sn = a1 / 1-q für |q| < 1
doppelelch
24.01.2002, 15:44
Ok, klar
musste auch sagen, was Du mit q meinst.
Die Herleitung bezog sich übrigens durchaus auf den unendlichen Fall (nach Grenzwertbildung)! Also schon auf eine geometrische Reihe.
Noch ne blöde Frage: Für was steht bei Dir das a1?
nobody
24.01.2002, 15:50
ich hab das ja nachgeholt, also was ich mit q meinte ;)
doppelelch
24.01.2002, 15:53
und mit a1?
nobody
24.01.2002, 15:57
a1 ist das erste glied der folge
also was wir genau vorgegeben bekommen haben:
q = an+1 / an
n-tes folgeglied = an = a1 * qn-1
berechnung der summe der ersten n glieder:
Sn = a1 +a2 ... + an
Sn = a1 * qn -1 / q-1
und die formel für die unendliche reihe:
s = lim sn = a1 / 1 -q für |q| < 1
doppelelch
24.01.2002, 15:58
Also 1 LOL
Und damit haste dasselbe da stehen wie ich!
nobody
24.01.2002, 16:04
a1 = 1 ?
warum ?
also wir hatten da auch andere werte ode ich hab grad den durchblick verloren... ich schau mal kurz nach...
doppelelch
24.01.2002, 16:09
Oh...jetzt sehe ich das Problem
Klaro, wenn Du eine solche geometrische Reihe Sn mit irgendeiner Zahl, z.B. a1 multiplizierst, bleibt das ganze per Definition natürlich eine geometrische Reihe.
Damit ändert sich zugleich auch dein erster Wert von 1 zu a1 und Deine Formel für die Summe bekommt auch den Faktor a1 dazu.
Jetzt ist die Welt wieder in Ordnung, oder?
nobody
24.01.2002, 16:13
ja, die welt ist in ordnung, den beweis verstehe ich zwar nur in groben zügen und weiß nicht wie ich daraus den für
s = lim sn = a1 / 1 -q für |q| < 1 mache...
aber das kann auch an totaler übermüdung liegen ;)
danke erstmal, diablo
doppelelch
24.01.2002, 20:55
Also, ich warte erstmal ab, bis Du wieder wach bist. Wenns dann immer noch Probleme gibt, melde Dich einfach nochmal. Aber eigentlich hast Du jetzt alles was Du brauchst. Trotzdem: nur keine Scheu nochmal nachzufragen! Will nur nicht wieder zwei Seiten vollschreiben wenns ohnehin schon klar war.
nobody
24.01.2002, 22:32
also, ich hab jetz mal ein bischen gepennt...
mach mla bitte den beweis mit "meiner formel" sonst laufe ich echt noch gefahr in tiefe dressionen zu fallen, weil ich absolut dumm bin..*g*
gruß, diablo
doppelelch
24.01.2002, 22:55
Ihr geht von einer Summe der Form
Sn,z=z*a0+z*a1+z*a2+...+z*an
aus
Klammere dort einfach z aus und dann steht dort im Grunde (mit den Bezeichnungen von meinem ersten Statement)
Sn,z = z*Sn
und Sn war ja gerade
= (1-an+1)/(1-a)
D.h.
Sn,z wäre dann
z*(1-an+1)/(1-a)
Mit lim(n-->unendl.) geht an+1 für
|a|<1 gegen 0.
D.h. für die unendliche Reihe geht der Quotient
gegen z* (1)/(1-a)
also gegen z/(1-a)
Dabei ist nun z der erste Summand in der Reihe, nämlich z*a0 = z*1 =z
(also das, was in deiner Formel als a1 betitelt wird)
und a in meiner Formel ist zugleich der Quotient zweier beliebiger aber aufeinanderfolgender Summanden der Reihe, nämlich
(z*an+1(/(z*an) = a
und zugleich das, was in deiner Formel als q bezeichnet wird.
Und damit haste nun alles?
Wenns weiterhin unklar ist, ruhig nachfragen!
nobody
24.01.2002, 22:58
nee, jetzt hab ichs endlich verstanden, vielen dank :))