Textaufgabe zum Grenzwert

[oidi]

Ich bins wieder mal ;)
Nachdem ihr mir gestern beim ersten Beispiel so gut geholfen habt, könntet ihr mir ja auch jetzt (bitte) wieder entscheidende Tipps geben.
Folgendes Beispiel:

Eine Spirale entstehe durch Aneinanderfügen von Halbkreisen, wobei jeder Durchmesser 3/5 des vorhergehenden Durchmessers beträgt. Der erste Durchmesser betrage 4 cm.

(a) Wie lang ist die Spirale
(b) Wie weit sind Angangs- und Endpunkt der Spirale voneinander entfernt?

ad a: Um zur Lösung zu kommen, brauche ich eine Folge, die die Summe der Umfänge der Halbkreise (U=r+pi) beschreibt.
Mein Problem: ich schaffe es weder, eine Folge hierfür zu finden, noch das Problem in die Summenform zu übertragen.

ad b: darüber mach ich mir mal jetzt in der zwischenzeit gedanken.
danke für häufige antworten ;)

hab mir da jetzt meine gedanken zu b gemacht:
ich würde das folgendermassen lösen:
2 Summen, wobei ich dann die eine von der anderen abziehe.
die erste gilt für die geraden elemente (das 0e, 2e,4,6,8...), die zweite für die ungeraden elemente (1,3,5,7,9,...).
die summenformel ist jeweils 4*(3/5)^n
ich tu mir da blos so schwer, von der summenformel eine allgemeine folge aufzustellen, wo ich dann die beiden grenzwerte ausrechnen kann und voneinander abziehen kann.
jemand ne ahnung??

[Sw00p]

du darfst nicht zuerst die grenzwerte bilden und dann voneinander abziehen, sonder du musst dir ne allgemeine form suchen, in der schon das abzeihen enthalten ist und dann musst du den grenzwert bilden.

[Sw00p]

ich habs mal ausgerechnet. Der Abstand ist bei mir 2,5. Rechenweg:

x... Abstand

x=4-\frac{3}{5}4+(\frac{3}{5})^{2}4-(\frac{3}{5})^{3}4+\ldots
x=4(1-\frac{3}{5}+(\frac{3}{5})^{2}-(\frac{3}{5})^{3}+\ldots)
x=4(\frac{2}{5}+(\frac{3}{5})^{2}\frac{2}{5}+(\frac{3}{5})^{4}\frac{2}{5}+\ldots)
x=\frac{8}{5}(1+(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{3}{5})^{4}+\ldots)
x=\frac{8}{5}+\frac{8}{5}((\frac{3}{5})^{2}+(\frac{3}{5})^{4}+\ldots)
jetzt alles durch (\frac{3}{5})^2 teilen
\frac{25x}{9}=\frac{40}{9}+\frac{8}{5}(1+(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{3}{5})^{4}+\ldots)
jetzt x einsetzen
\frac{25x}{9}=\frac{40}{9}+x
25x=40+9x
16x=40
x=2,5

ich hoffe du hast alles verstanden ;-)

[oidi]

also, a hab ich schon ausgerechnet und b schau ich mir auch noch an. danke auf alle fälle für die hilfe, ich werds schon noch checken ;)

[Sw00p]

hmm, warum zeigt der eigentlich nicht die formeln so an wie in tex? in der vorschau hatte es funktioniert.

[buba]

Seit dem Update der Forensoftware (siehe Forum "Ankündigungen") klappt das mit MimeTeX noch nicht so ganz. Bitte noch etwas Geduld haben.

[oidi]

@swoop: habs dann genau gleich ausgerechnet wie du (bin dann selber draufgekommen, deine anzeige hat mir nicht so viel geholfen, hätte sie aber sonst heute machen müssen ;)), danke aber für den tip