:confused: :confused: :confused:
Das Volumen eines Rotationskörpers durch Integration zu berechnen ist relativ einfach. Die Herleitung zur Berechnung der Oberfläche von Rotationskörpern durch Integration ist dagegen (für mich) schon etwas komplizierter. Unter Google.de habe ich schon nachgesehen, doch nichts gefunden, was wirklich weiterhilft. In diversen Lehrwerken finde ich häufig "...durch grundlegende Mathematische Umformungen und Rechenschritte...erhält man schließlich..." :rolleyes: . Mir fehlen also ein paar Details im Verständnis. Ich schätze, es gibt verschiedene Ansätze, um die "entgültige" Formel für die Mantelfläche bzw. Oberfläche von Drehkörpern zu erhalten.
Ich würde mich über hilfreiche Beiträge im Forum, Tipps, weitere Internetseiten, oder auch e-mails an mich sehr freuen!! :) :) :)
doppelelch
23.01.2002, 21:42
Na dann will ich mal einen Versuch starten.
Wie Du schon sagtest, es gibt da bestimmt mehrererereee Möglichkeiten.
Es folgt der Versuch einer graphischen Darstellung mit einfachsten Mitteln.
Sei f der Graph, der (hier!) um die x-Achse rotieren soll (Es sind nur einzelne Punkte dargestellt)
A ( x(0)/0)
B ( x(1)/0)
C ( x(0)/f(x(0)) )
und
D ( x(1)/ f(x(1)) )
um die x-Achse rotieren lässt, ergibt sich ein Kegelstumpf.
Dessen Mantelflächenberechnung sollte sich elementargeometrisch ableiten lassen (Habe ich jetzt nicht nochmal durchüberlegt, und einfach einer Mittelstufenformelsammlung entnommen. Ich hoffe das erachtest Du als legitim).
Sie berechnet sich nach folgender Formel:
M = Pi * S * (r(0)+r(1))
wobei S die Entfernung des unteren vom oberen Kegelstumpfrand ist,
r(0) ist der Radius der Deckelfläche, r(1) der der Bodenfläche.
Was ergibt sich nun also für unsere Mantelfläche im vorliegenden Fall?
r(0) wäre f(x(0))
r(1) wäre f(x(1))
und
S müssen wir aus Dx und Dy aus dem Satz des Pythagoras gewinnen:
S wäre Wurzel aus ( Dx^2 + Dy^2)
Das ergibt schließlich für unser (nennen wir es...)
M(i) = Pi * Wurzel aus (Dx^2 + Dy^2) * [f(x(0))+f(x(1)) ]
uff
Diese Dinger gilt es nun für alle möglichen Stellen zu ermitteln und aufzusummieren:
Summe über alle i von M(i) oder so ähnlich,
dann noch einen kleinen Grenzprozess x(0)-->x(1)
(Die letzten zwei Zeilen sind hier etwas holprig was ihre mathematische Exaktheit angeht, gebe ich zu, aber das jetzt präzise auszuformulieren fehlt mir hier der nötige Nerv. Ich denke fürs Verständnis reichts so erstmal aus!)
Aus Dx und Dy werden durch den Grenzprozess nun dx und dy und aus der Summe das Integral.
Dann haste da:
Integral (Über die Grenzen, die Du brauchst) von:
Pi * Wurzel(dx^2 + dy^2) * 2 * f(x)
Klammere nun noch das unter der Wurzel stehende dx^2 aus und Du bekommst:
Pi * Wurzel(1 + dy^2/dx^2) * 2 * f(x) * dx
und damit die Formel die Du kennen müsstest.
Was da natürlich noch nicht mit drinsteckt sind eventuell vorhandene Boden- und Deckfläche des Rotationskörpers.
So ich hoffe das war halbwegs i.O.
Viel Glück
de
1-Raphi-Ethanol
24.01.2002, 21:50
Ich werde mir deinen Beitrag erst einmal ausdrucken um ihn besser nachvollziehen zu können :) Eine Hilfe wird es allemal sein und vielleicht finden sich ja noch ein paar mehr Mitglieder, die etwas beizutragen haben... :)
;) Bis dann...
1-Raphi-Ethanol
25.01.2002, 21:41
@Doppelelch
Ich habe mir jetzt alles mal durgesehen /-gerechnet. Echt genial, finde ich, denn in so ein paar Lehrwerken war der Ansatz wesentlich unanschaulicher!! Also nochmals vielen Dank!! :D :D
Hoffentlich haben noch ein paar mehr Mitglieder Lust, sich an diesem Thema zu beteiligen...! :)
Adios
1-Raphi-Ethanol
27.01.2002, 18:26
Ist da vielleicht noch wer, der zu diesem Thema noch etwas beizutragen hat? :confused: :o
Gruß
upsidedown
27.01.2002, 19:16
Wieso? Sind denn noch wesentliche Fragen offen?
Wenn ja: stell sie ;)
Gruß,
UpsideDown
doppelelch
27.01.2002, 21:26
@Raphi:
Erstmal bidddde!
Und zweitens kann ich mich da upside nur anschließen:
Ist noch was offen? Nur zu - immer fragen!
1-Raphi-Ethanol
28.01.2002, 17:23
Wenn ich die Summe der Kegelstumpf-Mantelflächen bilde
n
<font class="serif">∑</font> <font class="serif">π</font> <font class="serif">√</font>((xi-xi-1)2 + (f(xi)-f(xi-1))2) * (f(xi) + f(xi-1))
i=1
(weil ich zur Erklärung im Grenzprozess nicht dx und dy schreiben wollte, habe ich mal alles "ausformuliert"), wie bringe ich dann den Grenzprozess und die Summenschreibweise (von der oben geschriebenen Formel) in Einzelschritten aufs Papier? Das Ergebnis ist mir schon vollkommen klar, bloß will ich/soll ich alles mit Zwischenschritten erklären.
stellt sich mir ein Problem: Wenn ich im Grenzprozess n<font class="serif">→</font><font class="serif">∞</font> gehen lasse, würde der rot markierte Teilterm mit der Wurzel in der oberen Schreibweise, also ohne dx und dy, doch gegen null gehen, oder? Dass kann /darf aber doch nicht sein!?
doppelelch
29.01.2002, 12:38
Also ich fange mal mit deiner zweiten Frage an:
Der Grenzprozess für n, den Du meinst, kommt bei mir (browserbedingt) nicht richtig an. Deshalb muss ich einfach mal annehmen, Du meinst irgendeinen Grenzprozess, der x(i) auf x(i-1) zulaufen lässt (Was von der Herleitung gesehen ja durchaus sinnvoll ist).
Ich weiß nicht, weshalb Du denkst, dass der Radikandzwangsläufig =(!)0 sein muss!?!
Erstens ist er nie genau =0, sondern strebt nur gegen 0, wobei zugleich diese (dann auch wieder unendlich vielen) unendlich kleinen Werte, ja aufsummiert werden (Das ergibt dann eben wieder nicht 0).
Und zweitens, darf man, eben weil diese Differenzen nie genau =0 sind durch diese Terme dividieren, Fall also auch so ausklammern, wie in der Herleitung beschrieben. Dieses Ausklammern ändert ja nun zugleich nichts am Wert des Terms, es erleichtert aber die Einsicht, darin, welcher Wert denn nun (nach dem Grenzprozess) tatsächlich bei der ganzen Sache herauskommt.
Also diesbezüglich musst Du Dir , denke ich, keine Sorgen machen.
Bezüglich Deiner ersten Frage: Bitte Gnade, das ist eine üble Indexhuberei! Haste nie mal mit Riemannschen Summen hantiert - schrecklich! Und man vertut sich schnell. Also der Ansatz mit X(i) und x(i-1) ist in diesem Fall auch glaube ich gar nicht geschickt. Besser wäre wohl sowas wie x(0)+k*(x(n)/n), wobei x(0) die untere Integrationsgrenze wäre (Die Stelle auf der x-Achse, an der der Rotationskörper "beginnt") und x(n) sozusagen "das Ende". k wäre der Laufparameter und n das was gegen oo laufen soll.
Den Ansatz mit x(0) und x(1) habe ich gewählt, weil das den Kern der Sache wesentlich übersichtlicher gestaltet. Bitte erspare mir eine detailgenaue Ausformulierung. Aber ich gebe Dir Recht: Ist bestimmt knifflig. Würde ich jetzt auch nicht so aus dem Ärmel schütteln.
Dennoch denke ich, dass es anschaulich klar ist, dass eine Annäherung von x(i) und x(i-1) zugleich zweierlei bewirkt, nämlich zum einen eine Verfeinerung der "Kegelstumpfstapelung" (Summe wird zum Integral) zum anderen ein besseres "Anschmiegen" der Hypotenuse (s, bzw. der Wurzelterm) an den Graphen (Differenzenquotient wird zum Diferentialquotienten).
Ich denke ferner, dass es heißen muss: lim(blabla) und dann erst das Summenzeichen. Klar, das macht die Sache womöglich schwierig, wenns wirklich mathematisch astrein sein soll, denn man betrachtet zwei Grenzprozesse auf einmal. Da müsste man dann nochmal die entsprechenden Sätze durchforsten. Aber bitte, bitte...NEIIIN. Wie Du schon selber sagtest: Das geht dann mit Sicherheit zu Lasten der Anschaulichkeit - das was Du an den Lehrbüchern so bemängelt hast. Im Wesentlichen handelt es sich aber um das im thread beschriebene Verfahren.
Wenn ich auch nicht glaube, dass dich diese Antwort nun vollkommen zufriedengestellt hat, hoffe ich doch, es war wenigstens ein bißchen was fürs mathematische Gewissen.
Aber vielleicht möchte sich ja wirklich noch jemand anderes aus dem Club hier dazu äußern!
Na dann,
Gruß
de
1-Raphi-Ethanol
30.01.2002, 22:14
Bezüglich Deiner ersten Frage: Bitte Gnade, das ist eine üble Indexhuberei! Haste nie mal mit Riemannschen Summen hantiert - schrecklich! Und man vertut sich schnell. Also der Ansatz mit X(i) und x(i-1) ist in diesem Fall auch glaube ich gar nicht geschickt. Besser wäre wohl sowas wie x(0)+k*(x(n)/n), wobei x(0) die untere Integrationsgrenze wäre (Die Stelle auf der x-Achse, an der der Rotationskörper "beginnt") und x(n) sozusagen "das Ende". k wäre der Laufparameter und n das was gegen oo laufen soll.
Von Riemannschen Summen hab ich leider noch nicht viel gehört...brauchst du mir aber nicht ausführlich zu erklären!
Ich dachte nur, dass ich x(0) und x(1) durch x(i) bzw. x(i-1) ersetze, um mit ∑ die Summe bilden zu können; ich brauche dazu ja die Laufvariable an dem x....?
Ist meine Frmulierung denn falsch - es soll ja lediglich für die Herleitung des Oberflächenintegrals dienen.
:) Merci beaucoup!! :)
doppelelch
30.01.2002, 22:19
Du hast doch schon die entsprechende Stelle von mir zitiert. Ich würde mit k als Laufvariable arbeiten und das Intervall in n gleich große Teile unterteilen.
Ansonsten kommst Du in Erklärungsnöte was die genaue Lage der xi-Werte anbelangt. Außerdem brauchst Du einen Variable, die gegen oo strebt! Da würde sich dann n anbieten.
Aber vielleicht gehts ja auch mit Deinen xis!! Weiß nicht, probiers aus.
Gruß
de
1-Raphi-Ethanol
31.01.2002, 08:36
G ;) estern, kurz nachdem ich den PC ausgeschaltet habe, ist mir übrigens doch noch der ganze Kram mit den Riemannschen Summen eingefallen (Is doch der Spaß mit den Ober- und Untersummen zur Herleitung der Flächenintegration?!) ;)
Du meinst also, dass ich den Kegelstümpfen gleich große (äquidestante) Höhen zuordnen sollte. Daran hatte ich auch schon gedacht, und ich werde es wohl besser auch noch einmal ausprobieren.
Ich hätte mit der oben genannten "xi"- Formel i bis n laufen lassen, wobei n gegen unendlich geht... müsste doch auch gehen, sofern nicht (rein theoretisch) einige wenige oder gar nur ein Kegelstumpf eine "zu große" Höhe hätten und alle anderen beliebig klein würden.
Aber du hast schon recht, dieses theoretisch gut mögliche Problem wird bei äquidestanten Einteilungen der x-Werte umgangen. Mal seh'n, wie groß der Rechenaufwand ist und ob díe Übersichtlichkeit zu stark beeinträchtigt wird.
:D
1-Raphi-Ethanol
01.02.2002, 20:37
Bei der äquidestanten der Kegelstumpfhöhen habe ich noch ein Problem:
Wie soll die Formel für die Mantelfläche aussehen?
Nehmen wir einmal an, x(0) wäre a und x(1) wäre b. So ergäbe sich für die Höhe der Kegelstümpfe (b-a)/n. Jetzt muss ich für die Terme mit f(x) immer einmal schreiben : f(a + i * (b-a)/n) bzw. : f(a+ (i+1) * (b-a)/n) (i ist die Laufvariable). Das ist doch mir den Indices noch viel komplizierter?! :sad:
Ich hoffe, ich habe die Sache mit den äquidestanten Einteilungen richtig verstanden... :(
Also, ich denke, wenn auch noch dieses Problemchen gelöst wird, kann dieses Thema geschlossen werden :D :D
Tschüss
doppelelch
01.02.2002, 21:04
Also ich glaube, da herrscht jetzt gerade wirklich einige Verwirrung bei Dir.
Ich hätte das jetzt folgendermaßen gemacht (wie gesagt: im Detail nicht ausgereift, aber von der Grundidee her so in etwa!)
Nehmen wir einmal an, der Rotationskörperdeckel sei bei der Stelle x=p und der Rotationskörperboden bei x=q.
Der Einfachheit halber nehmen wir nun einfach mal vier äqudistante Unterteilungen, um das Prinzip klar zu machen:
Dann hättest Du beispielsweise einen Kegelstumpf von (Ich greife nun einfach mal einen aus der Mitte heraus)
x=p+1*(q-p)/4 (Wäre z.B. unser bisheriges x(0) gewesen)
bis
x=p+2*(q-p)/4 (Wäre dann unser bisheriges x(1) gewesen)
(Im allgemeinen Fall steht dann dort eben statt der 4 das n und die 1 bzw. 2 bzw. 3 ... ist dann der Laufparameter)
Die entsprechenden f(x)-Werte sind dann die Radien von Boden- und Deckel-Kreis des Kegelstumpfes. Die Höhe jedes dieser gleichhohen Kegelstümpfe beträgt damit (q-p)/4 (allgemein: (q-p)/n ).
Ich hoffe das hat Dir geholfen.
(Ging mir bei Dir etwas durcheinander. Vor allem das mit dem a in f(a+...) schien mir etwas komisch. Außerdem sequenziert man dabei doch nicht innerhalb eines Kegelstumpfes, so wie f(...+i*(b-a)/n) impliziert, sondern innerhalb des Rotationskörpers in mehrere Kegelstümpfe!)
Wie gesagt, vielleicht bekommt mans mit ner geschickteren Indizierung besser hin, aber im Moment erscheint mir dies als die Methode der Wahl.
Oki
Gruß und uff
de
1-Raphi-Ethanol
02.02.2002, 18:19
Aber jetzt!
Aus diesem "Thema bin ich nun ein paar Ecken schlauer geworden...
Wenn ich das Oberflächenintegral O = <font class="serif">∫</font> 2 <font class="serif">π</font> *1+[f`(x)]2 *f(x) dx mit einer Wurzelfunktion bilde, die im Ursprung beginnt, strebt die Steigung und damit die erste Ableitung in diesem Punkt gegen Unendlich, oder? Dann würde ja das gesamte Integral gegen Unendlich gehen... Wenn das so richtig ist, wie kann ich es umgehen?
Gruß,
mp67
05.03.2002, 00:16
Durch Grenzwertbetrachtung: Stelle das bestimmte Integral als Funktion der unteren Grenze dar und lasse diese dann gegen 0 gehen.