Ein Kapital von 15.000DM (jetzt: ~ 7.500 € :D) wird jährlich verzinst.
a.) Auf welchen Betrag ist das Kapital durch die Zinsen und die Zinseszinsen nach 2 (4; 6; 8; 10) Jahren angewachsen?
b.) In welchem Zeitraum hat sich das Kapital etwa verdoppelt (verdrei-, vervierfacht)?
Die Teilaufgabe a.) ist kein Problem, b.) bekommt man durchs Ausprobieren (Hinschauen auf dem Taschrechner) heraus. Die Lösung ist mir aber zu einfach. Ich habe mir gedacht, dass ich von
y = 15000 * 1,05x
die Umkehrfunktion bilde.
Das Mathematikbuch sagte folgendes:
logax mit a <font class="serif">≠</font> 1, ist diejenige reelle Zahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten.
Ich muss dazu sagen, dass wir uns erst demnächst mit Logarithmusfunktionen beschäftigen werden, d.h. ungewohntes Terrain (schreibt man das so? ;)) für mich.
Ich habe folgenden Lösungsansatz:
y = 15000 * 1,05x
log1,05y = 15000 * x
log1,05y
-------------------- = x
15000
Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß, wie ich die 30.000 DM in die Logarithmusfunktion einbringen muss !?
Wäre schön, wenn mir jemand sagen könnte, wie es richtig geht bzw. was ich falsch gemacht / gedacht habe.
Danke,
badcip
17.01.2002, 16:01
b.)
30000 = 15000 <font class="serif">·</font> 1.05x
2 = 1.05x <---- Das dürfte doch kein Problem sein.
Ok, ich will ja nicht so sein.
lg 2 = x <font class="serif">·</font> lg 1.05
x = 14,20669908
ArneE
17.01.2002, 18:20
Hallo,
hey - danke! Genau das ist es!!
buba
17.01.2002, 19:58
Wenn du die Suchfunktion verwendest, findest du weitere Infos zu Logarithmen und Rechengesetze für Logarithmen.
PS:
Originalnachricht erstellt von ArneE
Ich habe folgenden Lösungsansatz:
y = 15000 * 1,05x
log1,05y = 15000 * x
log1,05y
-------------------- = x
15000
Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß, wie ich die 30.000 DM in die Logarithmusfunktion einbringen muss !?
Wäre schön, wenn mir jemand sagen könnte, wie es richtig geht bzw. was ich falsch gemacht / gedacht habe.
Immer auf beiden Seiten logarithmieren!
log y = log (15000 * 1,05x)
log y = log 15000 + x * log 1,05
x = (log y - log 15000) / (log 1,05) = log (y/15000) / (log 1,05)
Das wäre die Umkehrfunktion.
ArneE
17.01.2002, 20:03
Hallo,
Wenn du die Suchfunktion verwendest
:D - habe ich diesmal vor meinem Post verwendet, doch leider hat die nichts für mich brauchbares ausgegeben. Hab' mir ein paar Posts durchgelesen, aber na ja ... hat mir halt nicht weitergeholfen.
ArneE
17.01.2002, 21:36
Hallo buba,
ja, habe ich, allerdings verstehe ich den "Übergang" in folgende Zeile nicht ganz:
log y = log (15000 * 1,05x) | ist dann klar.
log y = log 15000 + x * log 1,05
// Wie kommst du beim Ausmultiplizieren auf "15000 + x" !?
buba
17.01.2002, 21:43
s. Thread zu den Logarithmus-Rechenregeln ;)
z.B. der hier: http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?s=&postid=8349#post8349
den Beitrag gab's bei meiner Suche nicht ;) - Trotzdem danke!
Die Rechenbeispiele sind ganz gut, aber durch die Rechenregeln steige ich (noch) nicht durch, aber das wird schon noch.
nobody
17.01.2002, 23:05
Es gibt halt ein paar Regeln zum Rechnen mit Logarithmen (die kann man sich sogar mit etwas Kohle und Papyrus selbst herleiten):
lg (a*b) = lg a + lg b
lg (a/b) = lg a - lg b
lg ab = b * lg a
lgb a = lgc a / lgc b
Nun sieht man auch, warum im Vor-Taschenrechner-Zeitalter mit Logarithmentafeln gearbeitet wurde: Z.B. lassen sich schwierige Multiplikationen durch einfachere Additionen ersetzen; natürlich wird bei Benutzung der Tafeln ein Rundungsfehler in Kauf genommen.
(*)
Das ist bekannt, oder? 22 · 23 = (2·2) · (2·2·2) = 25 = 22+3
Daraus folgt auch:
log(ax) = x·log(a)
ArneE
18.01.2002, 14:58
Hallo,
@buba: Ja, ist bekannt.
Ich denke, jetzt hab' ich's wohl verstanden.
Vielen Dank euch beiden!!
ArneE
21.01.2002, 18:27
Hallo,
kaum die eine Aufgabe gelöst, naht schon wieder neues Unheil .... ;)
Die folgende Aufgabe müsste man doch mittels einer Umkehrfunktion lösen können, aber irgendwie bekomme ich nur negative Zahlen heraus, was dabei wirklich nicht sein kann:
Aufgabe:
Bei speziellen Untersuchungen der Schilddrüse wird dem Patienten radioaktives Jod verabreicht, dessen Verbreitung im Körper dann mit Hilfe von Strahlenmessgeräten verfolgt werden kann. Das dabei verwendete Jodisotop 131/53J hat eine Halbwertzeit von rund 8 Tagen. Wieviel Prozent der ihm verabreichten radioaktiven Jodatome hat der Patient nach 4 Wochen (1 Jahr) nach iner solchen Untersuchung höchstens noch in seinem Körper.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir noch einmal jemand helfen könnte!! :)
T: Halbwertszeit
t: verstrichene Zeit
N(t) / N0: Anteil der nach t vorhandenen Teilchen
ArneE
21.01.2002, 18:48
Hallo buba,
N(t) / N0 : Anteil der nach t vorhandenen Teilchen
Was ist N von t bzw. N0?
= (1/2)28/8
P.S.: Du den Logarithmusfunktionen sind wir noch gar nicht gekommen, sondern dumpeln immer noch bei den Exponentialfunktionen herum.
buba
21.01.2002, 19:05
Steht doch in dem o.g. Thread:
http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?s=&postid=34061#post34061
N(t) ist die Zahl der im Zeitpunkt t unzerfallenen Atome;
N0 ist die Zahl der zum Zeitpunkt t = 0 unzerfallenen Atome;
Das Verhältnis gibt die Anzahl der nach t übrig gebliebenen Atome an. Wenn am Anfang [t=0] 1000 Atome [= N0] vorhanden und nach t=10 s noch 20 Atome [= N(10 s)] übrig sind, dann sind nach 10 s eben nur noch 2% [N(10 s) / N0 = 20/1000] der radioaktiven, unzerfallenen Atome übrig.
nobody
21.01.2002, 19:07
N(t) ist die Anzahl unzerfallener Teilchen zum Zeitpunkt t, N0 logischerweise zur Zeit 0 (also die Ausgangsmenge). Wozu braucht man denn da eine Umkehrfunktion? Der Quotient ist doch schon der Anteil noch unzerfallener Teilchen zur Zeit t (durch einfachen Dreisatz, nämlich Multiplizieren mit 100, kommt man auf Prozentwerte).
Auf die Gefahr hin, daß Buba mich verstrahlt :D , aber die gängige Form lautet immer noch:
N(t) / N0 = e-t*ln2/T
Das bekommt man durch Anwendung der Logarithmenrechenregeln recht einfach aus der obigen Gleichung.
buba
21.01.2002, 19:12
Originalnachricht erstellt von Nitropenta
Auf die Gefahr hin, daß Buba mich verstrahlt :D , aber die gängige Form lautet immer noch:
N(t) / N0 = e-t*ln2/T
Das bekommt man durch Anwendung der Logarithmenrechenregeln recht einfach aus der obigen Gleichung.
... was im weiter oben geposteten Link hergeleitet wird. ;)
Ich weigere mich, diese angeblich gängige Form anzuwenden, da die Halbwertszeit eine Rolle spielt und man ohne Weiteres e-ln2 als 1/2 schreiben kann! *grummel*
ArneE
21.01.2002, 20:18
N'Abend,
.... [....] .... [...] .... [.....] (;)) und was heißt das nun für mich !?
Bzw. was ist N(t) bzw. N0 in meiner Aufgabe?
!! = (1/2)28/8
Danke!
buba
21.01.2002, 20:31
Originalnachricht erstellt von ArneE
Bzw. was ist N(t) bzw. N0 in meiner Aufgabe?
!! = (1/2)28/8
Du sollst das Verhältnis und somit den prozentualen Anteil ausrechnen.
(1/2)28/8 <font class="serif">≈</font> 0,0883 = 8,83 %
Fertig. :)
badcip
21.01.2002, 20:34
Ich bin eigentlich tot krank und hab Fieber, aber ich verallgemeinere es dir einmal. Ich mache es einmal mit der e-Funktion, weil es auf diese Art und Weise einfach ist. Natürlich kann mann e-Funktionen wieder in normale Exponentialfunktion umformen, aber das würde dich noch mehr verwirren. (Huste, huste, hätch <---- verdammtes Fieber)
Anwendung der e-Funktion
In der Physik schreibt man das Halbwertsgestz so: N0 ist der Anfangswer, hier 100% also setzt du 1 ein.
Für ein Jahr setzt du t = 1 und es kommt 0.91 raus, d.h., dass nach einem Jahr noch 91% des ursprünglichen Iodisotp vorhanden ist.
(Huste, Huste, Haaaaaaaaatchi)
Du bist mir was schuldig. :D
:red_eyes: Jetzt aber schnell wieder ins warme Bettchen. :D
Haaaaaaaaaatchhhhhhhhhhi!
badcip
21.01.2002, 20:46
mag jetzt ein wenig verwirrent sein, aber wnn du genauer hinsiehts, dann habe ich und buba das gleiche Ergebnis.
buba
21.01.2002, 21:00
Originalnachricht erstellt von badcip
N(t) = 1 <font class="serif">·</font> e-0.08664t
Für ein Jahr setzt du t = 1 und es kommt 0.91 raus, d.h., dass nach einem Jahr noch 91% des ursprünglichen Iodisotp vorhanden ist.
Uiii! :eek:
Nach vier Wochen sind nur noch ca. 8%, nach einem Jahr aber wieder 91% vorhanden?
badcip
21.01.2002, 21:03
Wie wärs denn, wenn du die 4 Wochen richtig in Jahre umrechnen würdest?! Gib mal 8 Jahre ein.
ArneE
21.01.2002, 21:04
Hallo,
ach, sorry, total übersehen. Wir sollen berechnen wie viele Tage 50%, 25%, 60%, 70%, 80% sind.
50% --> 8d
25% --> 16
60% -->
70% -->
80% -->
badcip
21.01.2002, 21:07
Originalnachricht erstellt von buba
Uiii! :eek:
Nach vier Wochen sind nur noch ca. 8%, nach einem Jahr aber wieder 91% vorhanden?
Ich weiß ja nicht, was du gerechnet hast, aber bei mir sind 4 Wochen 0.0767 Jahre. :D Es kommt auch hin.
buba
21.01.2002, 21:19
Ich habe dich nur zitiert, badcip...
Originalnachricht erstellt von badcip
N(t) = 1 <font class="serif">·</font> e-0.08664t
Für ein Jahr setzt du t = 1 und es kommt 0.91 raus, d.h., dass nach einem Jahr noch 91% des ursprünglichen Iodisotp vorhanden ist.
@ArneE:
Ist das nun der zweite Teil der Aufgabe? Ihr sollt berechnen, nach wie vielen Tagen noch 60%, 70%, 80% der radioaktiven Atome vorhanden sind?
Hier löst man wohl am Besten nach t auf und setzt für das Verhältnis N(t)/N0 jeweils 0,6; 0,7 und 0,8 ein.
N(t)/N0 = (1/2)t/T
ln[N(t)/N0] = t/T ln(1/2)
t = T ln[N(t)/N0]/ln(1/2)
ArneE
21.01.2002, 21:42
Hallo,
ich verstehe den Unterschied zwischen der "einfachen" Logarithmusfunktion log() und ln() nicht ganz, obwohl ich mir deinen Link durchgelesen habe.
ln = loge !?
Bzw.: Was heißt das e?
Heißt loge5: Logarithmus von e, wobei das Komma noch 5 Stellen nach rechts verschoben ist?
Oder ... Wie wieso heißt die zweite Zeile nicht: t/T log(1/2)
buba
21.01.2002, 21:54
Originalnachricht erstellt von ArneE
ln = loge !?
Bzw.: Was heißt das e?
Richtig. e ist die "Eulersche Zahl", ln ist der "natürliche Logarithmus" (zur Basis e).
e ist ungefähr 2,71828183 und kann auf verschiedene Weisen erhalten werden, zum Beispiel indem man (1 + 1/n)n für n → Unendlich "ausrechnet".
Man kann auch mit lg (log10) oder einer beliebigen anderen Basis rechnen, solange man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Basis verwendet.
Umrechnung auf verschiedene Basen:
log2 a = lg(a)/lg(2) = ln(a)/ln(2) usw.
Heißt loge5: Logarithmus von e, wobei das Komma noch 5 Stellen nach rechts verschoben ist?
Diese Schreibweise ist mir nicht geläufig. :suspect:
ArneE
21.01.2002, 22:04
Originalnachricht erstellt von buba
N(t)/N0 = (1/2)t/T
ln[N(t)/N0] = t/T ln(1/2)
t = T ln[N(t)/N0]/ln(1/2)
Heißt das, dass ich einfach nur alle "ln"s durch "log"s ersetzen muss?
N(t)/N0 = (1/2)t/T
log[N(t)/N0] = t/T log(1/2)
t = T log[N(t)/N0]/log(1/2)
Bei einer "normalen" Zahl 1,3e4 bedeutet das e doch, dass das Komma noch 4 Stellen nach rechts, bei -e nach links, verschoben werden muss. "e"s sind nur bei ganz großen Zahlen hilfreich und vor allem, wenn man den Taschenrechner verwendet. Darf man das bei Logarithmen denn nicht machen?
upsidedown
21.01.2002, 22:16
Ne, da bringst du grad zwei völlig verschiedene Dinge durcheinander. (Wenn ich jetzt was von Äpfeln und Birnen erwähne krieg ich wahrscheinlich Ärger, also lass ichs ;) )
Die Schreibweise 1,25E15 was ja nichts anderes als 1,25 * 1015 (<- soll 10 hoch 15 heissen) bedeutet hat NICHTS mit der Eulerschen Zahl e zu tun. Nix verschieben.
Am besten du sortierst das in deinem Kopf mal kurz auseinander und liest dir die Postings oben noch mal in Ruhe durch. Da steht eigentlich schon alles mindestens einmal drin was du dazu wissen musst.
Gruß,
UpsideDown
ArneE
21.01.2002, 22:22
Hallo,
ja, ich glaube (zumindestens jetzt :D), dass ich das einigermaßen verstehe. Auch durch Ausprobieren ...
VIELEN, VIELEN DANK!! :):):)
nobody
22.01.2002, 11:15
Das E aus der Computer-Schreibweise von Zehnerpotenzen stammt einfach von "Exponent". Aber zur Abkürzung der Logarithmen:
ln : natürlicher Logarithmus (zur Basis e)
lg : dekadischer Logarithmus (zur Basis 10)
logn : Logarithmus zur Basis n
Auf Taschenrechnern und in Computersprachen (-programmen) wird der dekadische Logarithmus meist AUCH mit log abgekürzt, was eigentlich nicht korrekt ist.
doppelelch
22.01.2002, 13:47
Du meine Güte, da habt ihr den guten Arne ja kräftig verwirrt.
Wenn er mit Logarithmen noch nicht viel anzufangen weiß, dann mit dem natürliche Logarithmus erst recht nichts!
(Außerdem ist das Umrechnen von einer Basis zur nächsten eines der schwierigeren Logarithmengesetze. Vor allem, wenn das Feld für einen völlig neu ist! Logarithmen sind gewöhnungsbedürftig!)
Also Arne....am Besten, Du schaust Dir nur mal durch, was Dir buba zu Deinem Problem geschrieben hat, das ist stringent!
(Lass die Kommentare auf die Statements der anderen einfach beiseite)
Vergiss den ganzen Quatsch mit dem natürlichen Logaritmus an dieser stelle einfach. Das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen!
Zuviel theoretischer Balast wäre hierfür erforderlich, um dir das WIRKLICH pausibel machen zu können. Es kommt zu gegebener Zeit noch in der Schule.
Schau dir nochmal in aller Ruhe die Logarithmengesetze an (Buba hat Dir glaube ich geschrieben, wo!) und friemel Dich dann mit dem von Buba genannten Ansatz durch.
Wenn Du nicht weiterkommst, schreibst Du einfach nochmal.
ArneE
22.01.2002, 15:12
Hallo,
@doppelelch: Genau. :)
Original erstellt von Nitropenta:
Auf Taschenrechnern und in Computersprachen (-programmen) wird der dekadische Logarithmus meist AUCH mit log abgekürzt, was eigentlich nicht korrekt ist.
Genau, das hat mich auch gewaltig durcheinander gebracht. Der Taschenrechner, zumindestens unser (Ti-83), kennt nur (!) den, wie war der Name noch mal ;), dekadischen Logarithmus und ich wollte immer noch einen "Parameter" mehr überlegen (log5 625). Das macht der Taschenrechner hingegen nicht mit.
DANKE!!
doppelelch
22.01.2002, 15:38
Also bei nochmaligem Durchsehen der Beiträge habe ich gesehen, dass sich buba für Aufgabenteil 2 auch zum ln (Natürlichen Logarithmus) hat hinreissen lassen. Deshalb jetzt mein Vorschlag:
Nehmen wir als Beispiel das Verhältnis N(t)/N(0)=60% also = 0,6
Dann kommst Du - auf der Grundlage der ersten Gleichung von buba - zu folgendem Ansatz:
0,6=(1/2)^(t/T)
Du kannst völlig sorgenfrei für T=8 Tage einsetzen, musst dann aber bedenken, dass deine Ergebisse auch in der Einheit Tage sein werden.
Also:
0,6=(1/2)^(t/8) (Gleichung A)
Jetzt also den dekadischen Logarithmus (lg bzw. das was auf dem TR fälschlicherweise so salopp als log abgekürzt wird) anwenden:
lg(0,6) = t/8 * lg(1/2)
Damit ist
t = 8 * lg(0,6)/lg(1/2)
et voila
Entsprechend für die anderen Werte.
Wenn Euer Lehrer Euch mit solchen Aufgaben konfrontiert, denke ich wird er wohl einen Übergang vom Thema Exponentialfunktionen zum Thema Logarithmen anstreben. Ich weiß nicht, obs geschickt ist, ihm als Antwort diesen Weg zu präsentieren. Er wird mit Sicherheit nachfragen. Und wenn Du dann nicht fit bist bei den Logarithmen...tja...Lass Dich überraschen.
Ich könnte mir vorstellen, Ihr solltet das eher durch gezieltes Ausprobieren lösen. D.h. sich durch Einsetzen verschiedener t-Werte in Gleichung A der Lösung nähern. Ist das Ergebnis größer als 0,6, muss t wieder etwas kleiner gemacht werden, ist das Ergebnis kleiner als 0,6 muss t größer gewählt werden.
Gruß de
ArneE
22.01.2002, 15:44
Hallo doppelelch,
genau, so habe ich das gestern auch gerechnet. Wir haben heute "offziell" mit Logarithmusfunktionen angefangen, aber warum soll man sich nicht auch schon ein bisschen vorher informieren !? :)
doppelelch
22.01.2002, 15:47
stimmt allerdings...wollte dich auch nicht davon abhalten...aber Du siehst, dass ich noch kleine Ergänzungen an meinem letzten Beitrag vorgenommen habe?
badcip
22.01.2002, 16:41
Originalnachricht erstellt von ArneE
Hallo doppelelch,
genau, so habe ich das gestern auch gerechnet. Wir haben heute "offziell" mit Logarithmusfunktionen angefangen, aber warum soll man sich nicht auch schon ein bisschen vorher informieren !? :)
:suspect: Solltest du eine gute Note bekomen, dann solltest du uns erwähnen. So ungefähr am Ende: Mit freundlicher Unterstützung von badcip und Co. :D
doppelelch
22.01.2002, 19:27
jep, gut gesprochen bc!! LOL
Wobei ich ja nur Trittbrettfahrer war! *g
ArneE
22.01.2002, 20:06
Hallo,
na ja, im diesjährigen Zeugnis bekomme ich eine 3 in Mathematik. :madanimate:
Die mit Abstand schlechteste Note ....