Frage zu Divergenz Beweisen

[braindead]

Hi,
Zum Beweis das die Fibonacci-Folge Divergiert gibt es einen Beweis bei welchem man zeigt (mit hilfe der Vollständigen Induktion) das gilt: a_n >= n-1 oder auch a_(n+1) >= n für alle n>=0, was ja das gleiche bedeutet.
Klar ist es mir auch das es sich dabei um einen Eindeutigen Beweis handelt da man n belibig groß wählen kann, können also auch die Funktionswerte oder Folgenglieder beliebig groß werden.

Ich frage mich nur ob dieser Beweis erst entstand nachdem man wusste das man ihn zum Erfolg führen kann, denn wenn für die Fibonacci Folge gelten würde: a_n >= n wäre das ja auch ein Beweis für die Divergenz mit der gleichen Begründung wie oben.

Oder gibt es irgenteinen Hinweis der mich schon vorher darauf kommen lassen könnte das die einzige mögliche Beziehung welche die Divergenz beweist a_n >= n1 ist? Oder anders gefragt gibt es einen Hinweis der mich die Beziehung a_n >= n (und andere mögliche Beziehungen wie z.b. a_n+3 > n-2), ausschliessen lässt?

[gerrit]

Hä
wie jetzt du hast den Beweis und glaubst ihm nicht?
vollständige Induktion funktioniert doch so das du einsetzt, umformst, und dann siehst was rauskommt, oder irre ich mich?!
und wenn >= rauskommt dann ist das der Beweis, wenn <= rauskommt überprüf dein Formelumstellen, prüfe noch einmal und dann freue dich das du den Fehler gefunden hast!

Sicher hat auch mal jemand versucht das ernsthaft zu == oder <= umzustellen nachdem >= gefunden war?! aber meist werden so Beweise ergebnissoffen das erste mal versucht, und dann festzustellen ob es divergiert oder konvergiert?!


http://chemieonline.de/forum/showthread.php?t=45799&highlight=vollst%E4ndige+induktion

[braindead]

Ich weiß nicht ob gerade ein Missverständniss vorliegt aber ich verstehe die Vollständige Induktion ich weiß wie ich sie durchzuführen habe.
Ich verstehe auch den Beweis und das dieser eindeutig ist.

Mein Problem ist das normalerweise Divergenz durch einen Widerspruch beim Versuch die Konvergenz zu beweisen, bewiesen wird.
Was nicht heist das es auch direkte Beweise für die Divergenz gibt, ich möchte blos verstehen ob in dem genannten Beispiel irgenteine Vorschrift verwendet wurde um auf die Beziehung a_n => n - 1 zu kommen?
Mir ist klar das wenn ich sie Beweisen kann die Divergenz bewiesen ist, mir ist nur nicht klar wie man auf die Annahme kommt da man ja auch versuchen könnte a_n >= n zu beweisen, wenn es funktionieren würde (ich habe es nicht versucht) wäre die Divergenz auch bewiesen.
D.h. es gibt nahezu unendlich viele Beziehungen welche, wenn sie Bewiesen werden würden die Divergenz der Folgen bestätigen würde, es reicht allerdings aus eine der Beziehungen zu beweisen um die Divergenz zu beweisen.
Es kann aber doch nicht die Vorgehensweise sein ALLE diese Beziehungen durchzuprobieren bis man eine findet welche Bewiesen werden kann (für Computer ist dies vieleicht aktzeptabel aber doch ncht für ein menschliches Gehirn).

Deshalb ist meine Frage wie man darauf gekommen ist gerade diese Beziehung (a_n >= n -1) zu beweisen?

[Praetor]

Die Fibonaccis divergieren ja vollkommen offensichtlich. Deswegen verwundert es kaum, dass es zum Beweis dessen viele viele Wege gibt.

Zeigt man, dass a_n \geq n-1
so kann man sich auf die Divergenz der natürlichen Zahlenfolge <1,2,3,4,5,...> stützen und der Beweis ist fertig.
Natürlich ist das nicht der Einzige weg. Auch mit dem Cauchykriterium gehts:
Wählen als Schrittweite einfach mal 1 und als Abstand epsilon 1/2 (extremer Spezialfall) und betrachten:
|a_n-a_{n+1}|=a_n \geq a_1=1>1/2
Und siehe da, konvergiert nicht.
Es fallen dir bestimmt noch viele weitere mehr ein.

Und ja, auch a_n \geq n führt zu einem Beweis.