braindead
02.09.2005, 17:03
Hi,
Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Sei lim an = a. Dann gibt es ein N element Nat. Zahlen, so dass
|an - a| < 1 für alle n >= N.
Daraus folgt
|an| <= |a| + |an - a| <= |a|+1 für n >= N.
der erste schritt ist mir noch klar, einfach erweitern mit (+a -a) und dann Dreiecksungleichung aber wieso ist |a| + |an - a| <= |a| + 1 und nicht:
|a| + |an - a| < |a| + 1?
Es gilt doch
|a| = |a| und |an - a| < 1, wenn ich jetzt auf beiden Seiten |a| addiere ändert sich doch an dem ungleichheitszeichen nichts oder irre ich mich?
Außerdem gilt wie gesagt nach vorraussetzung das |an - a| < 1 ist und das gilt für ALLE n >= N d.h. die Gleichheit tritt nur auf wenn n < N und das ist doch ausgeschlossen.
Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Sei lim an = a. Dann gibt es ein N element Nat. Zahlen, so dass
|an - a| < 1 für alle n >= N.
Daraus folgt
|an| <= |a| + |an - a| <= |a|+1 für n >= N.
der erste schritt ist mir noch klar, einfach erweitern mit (+a -a) und dann Dreiecksungleichung aber wieso ist |a| + |an - a| <= |a| + 1 und nicht:
|a| + |an - a| < |a| + 1?
Es gilt doch
|a| = |a| und |an - a| < 1, wenn ich jetzt auf beiden Seiten |a| addiere ändert sich doch an dem ungleichheitszeichen nichts oder irre ich mich?
Außerdem gilt wie gesagt nach vorraussetzung das |an - a| < 1 ist und das gilt für ALLE n >= N d.h. die Gleichheit tritt nur auf wenn n < N und das ist doch ausgeschlossen.