Folgen und Reihen, explizite und rekursive Darstellung

[nobody]

Hallo,
ich bin jetzt seit einer Woche in der 11. Klasse auf dem Gymnasium. Jetzt habe ich aber im Mathe-LK mit einer Aufgabe ein Problem und kann einfach keinen Weg finden.

Es geht um folgendes:

Wir haben eine Zahlenfolge bekommen:
<1,4,9,16,25,...>

Ziemlich schnell war klar, dass die explizite Darstellung ist:
an = n²

Dann hat der Lehrer die rekursive Darstellung angeschrieben:
an = 1, an+1 = an+2n+1




Wie ich von der Zahlenfolge auf die explizite Darst. komme ist kein Problem. Ich verstehe aber nicht, wie ich auf die rekursive Darstellung kommen soll.

In der Hausaufgabe habe ich jetzt natürlich verschiedene Zahlenfolgen, von denen ich die explizite und die rekursive Darstellung aufschreiben soll.

z.B.
Zahlenfolge:
<2,4,6,8,10,...>

explizite Darst.:
an = 2n

rekursive Darst.:
:confused:


Ich hoffe ihr könnt mir helfen (vor allem schnell...)



mfg


PhiL

[Nemesis]

Wir haben eine Zahlenfolge bekommen:
<1,4,9,16,25,...>

Ziemlich schnell war klar, dass die explizite Darstellung ist:
an = n²

Dann hat der Lehrer die rekursive Darstellung angeschrieben:
an = 1, an+1 = an+2n+1

Wie ich von der Zahlenfolge auf die explizite Darst. komme ist kein Problem. Ich verstehe aber nicht, wie ich auf die rekursive Darstellung kommen soll.

Ich denke, du solltest dir einmal die Differenzen zwischen je zwei benachbarten Werten angucken: 3, 5, 7, 9, ...
Dann sieht man recht schnell, wie man auf die rekursive Darstellung kommt.

Gruß
Nemesis

[exo411]

Hier sieht man es sicher sofort.

Wenn man in schwierigeren Fällen nicht draufkommt, lässt sich aus der expliziten Form auch gut die rekursive Form ableiten.
Bsp:
an =2n
an+1 =2(n+1)=2n+2=an +2.

[nobody]

Hmmm,
das hilft mir recht wenig (besonders die erste Antwort....)
was wäre denn bei expliziter Darst:
an = 2n-1

käme dann nicht für rekursive Darst:

an+1 = 2 (n-1+1) = 2n ?


Könntet ihr nicht mal erklären wie das ganze funktionieren soll, anstatt irgendwelche Zahlen zu posten....?

mfg


PhiL17

[exo411]

Hmmm,
das hilft mir recht wenig (besonders die erste Antwort....)
was wäre denn bei expliziter Darst:
an = 2n-1

käme dann nicht für rekursive Darst:

an+1 = 2 (n-1+1) = 2n ?


Könntet ihr nicht mal erklären wie das ganze funktionieren soll, anstatt irgendwelche Zahlen zu posten....?

mfg


PhiL17

Also gut. :D

Nemesis möchte dir damit sagen, dass zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern die Differenz 2 ist. Das heißt, man erhält das nächste Folgenglied, wenn man zu einem Folgenglied den Summanden 2 addiert.
Damit ergibt sich: an+1 =an +2.

So, dann zu der Methode, die ich vorgeschlagen hab.
Das funktioniert auch mit deinem Bsp:
an =2n-1
also an+1=2(n+1)-1
Jetzt formst du das so um, dass du an einsetzen kannst. Du willst ja schließlich eine Beziehung zwischen an+1 und an herstellen.
an+1=2(n+1)-1=2n+2-1=(2n-1)+2=an+2.
Dann brauchen wir noch einen Startwert für die rekursive Form. Dafür setzen wir in die explizite Form ein: a0=-1.
Also gilt für die rekursive Form:
an+1an+2 mit a0=-1

Jetzt alles klar? :)

[nobody]

Vielen Dank!
Das hab ich von Anfang an gebraucht. Noch eine Sache, der Startwert, wonach richtet der sich? Also wie komm ich wie z.B. in diesem bsp. auf die 1?


mfg


PhiL

[exo411]

Bitte, bitte! :)

Den Startwert erhälst du aus der expliziten Form.
Einfach 0 oder 1 (oder wo immer die rekursive Folge anfangen soll) in die explizite Form einsetzen.
Beim Beispiel: a0 =2*0-1=-1. Das ist dann der Startwert.

[kat1]

Hm es steht schon in der Überschrift, ich verschiebs trotzdem mal ins Unterforum Folgen & Reihen. ;)

[PrivateScofield]

Also gut. :D

Nemesis möchte dir damit sagen, dass zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern die Differenz 2 ist. Das heißt, man erhält das nächste Folgenglied, wenn man zu einem Folgenglied den Summanden 2 addiert.
Damit ergibt sich: an+1 =an +2.

So, dann zu der Methode, die ich vorgeschlagen hab.
Das funktioniert auch mit deinem Bsp:
an =2n-1
also an+1=2(n+1)-1
Jetzt formst du das so um, dass du an einsetzen kannst. Du willst ja schließlich eine Beziehung zwischen an+1 und an herstellen.
an+1=2(n+1)-1=2n+2-1=(2n-1)+2=an+2.
Dann brauchen wir noch einen Startwert für die rekursive Form. Dafür setzen wir in die explizite Form ein: a0=-1.
Also gilt für die rekursive Form:
an+1an+2 mit a0=-1

Jetzt alles klar? :)


Wie komm ich auf die letzte Zeile?
Soll das heissen an+1 * an+2 mit a0=-1

oder wie funktioniert das?

[Nick F.]

in der letzten zeile fehlt einfach ein gleichheitszeichen

an+1=an+2 mit a0=-1

Nick

[PrivateScofield]

in der letzten zeile fehlt einfach ein gleichheitszeichen

an+1=an+2 mit a0=-1

Nick


Sorry ich kenn mich mit Folgen eig garnicht aus, eine generelle Frage.

Wenn ich also die Rekursive Form suche, dann suche ich quasi immer an+1 ?

[Nick F.]

Wenn ich also die Rekursive Form suche, dann suche ich quasi immer an+1 ?

an+1 hast du bverets gegeben. du versuchst es aber durch an ggf auch an-1, an-2 ... darzustellen

Nick

[PrivateScofield]

Ja genau, und wenn ich das geschafft habe, dann hab ich die rekursive Form?

Oder wie sieht die Rekursive Form immer aus?
Wie wäre denn jetzt das Ergebnis bei der Aufgabe?
Also wie lautet da die Rekursive Form?

(zur erklärung, ich hab noch nie Folgen gemacht, ich versuche gerade nur einer Freundin zu helfen)

[Nick F.]

Ja genau, und wenn ich das geschafft habe, dann hab ich die rekursive Form?

ja


Wie wäre denn jetzt das Ergebnis bei der Aufgabe?


a_n=2n\Rightarrow a_{n+1}=2n+2=a_n+2\\
a_0=0


Nick

[PrivateScofield]

Nee quatsch :D
habs kapiert! Danke!

[Nick F.]

nö

an=2n

also

a0=2(0)=0

Nick

[PrivateScofield]

Dann hab ich aber noch eine Frage ^^
Wie geht denn der umgekehrte Weg, von rekursiv zu explizit?

Gibs da auch son Verfahren?

[Nick F.]

tja. der umgedrehte weg. das ist in der regel ein kunst und auch die hohe kunst. da gibts nichts allgemeines. da gibts nen aar athologische fälle, für die man regeln angeben könnte aber an sich ist das viel raten, bauchgefühl und glück

Nick

[PrivateScofield]

Oh cool und wie würdest du da dran gehen wenn du jetzt

a(n+1) = a(n) +2 gegeben hättest? xD

Ich wüsste nichtmal wie ich anfangen sollte :(

[Nick F.]

man fängt an sich die ersten glieder anzuschauen


\begin{tabular}{ccccccc}
n&0&1&2&3&4&5
\\
a_n&0&2&4&6&8&10
\end{tabular}


dann rät man eine möglich abhängigkeit

zb sieht sehr nach 2n aus

dann induktion

wenn man glück hat, hats funktioniert

Nick

[PrivateScofield]

Super hat mir wirklich geholfen! Danke!

Werde euch weiter empfehlen^^

[nonplayer141]

Hey,
ich habe ein ähnliches problem und verstehe schon das oben erklärte nicht, weil ich das auf meine Aufgabe nicht übertragen kann.
Ich habe die Zahlenfolge:
1,0,1,0,1,0,....
sollte dazu das Bildungsgesetz angeben:
an= Betrag von cos((n+1)*pi/2)
und meine nächste Aufgabe ist, dass ich die Zahlenfolge in rekursiver Darstellung angeben soll.
Da an+1=an +1 ist (rekursiv), dann müsste meine Zahlenfolge dann 2,1,2,1,2,1... heißen?
Und ich müsste einfach an so umstellen, dass ich auf die neue Zahlenfolge komme??

Freu mich auf blitzschnelle Antworten!
Anna

[DonCarlos]

Hey,
ich habe ein ähnliches problem und verstehe schon das oben erklärte nicht, weil ich das auf meine Aufgabe nicht übertragen kann.
Ich habe die Zahlenfolge:
1,0,1,0,1,0,....
sollte dazu das Bildungsgesetz angeben:
an= Betrag von cos((n+1)*pi/2)

Bildungsgesetze fuer eine Zahlenfolge gibt es soviele wie Sand am Meer (und noch viel mehr).
Einfacher als den Kosinus zu bemuehen, waere zum Beispiel: a_n = \frac{(-1)^n + 1}{2}.


und meine nächste Aufgabe ist, dass ich die Zahlenfolge in rekursiver Darstellung angeben soll.
Da an+1=an +1 ist (rekursiv), dann müsste meine Zahlenfolge dann 2,1,2,1,2,1... heißen?

Nein! Rekursiv definieren bedeutet nicht immer a_{n+1} = a_n+1 zu setzen, sondern lediglich, dass bei der Definition der Folge Bezug auf vorangegangene Folgenglieder zu nehmen. Dies kann ein oder koennen mehrere Folgenglieder sein.

In deinem Fall koennte man definieren a_0 = 1 und a_{n+1} = \frac{(-1)^{a_n}+1}{2} fuer n \geq 1.

[nonplayer141]

hey!
vielen Dank! Ich hab mittlerweile auch die aufgabe lösen können..
..glaube ich:
rekusive Darstellung heißt einfach, dass ich von einem vorangegangenem wert a n der reihe ausgehen muss.
also a n+1= a n+(-1)n

....
danke nochmal!

[DonCarlos]

rekusive Darstellung heißt einfach, dass ich von einem vorangegangenem wert a n der reihe ausgehen muss.

In deinem Fall ist keine Reihe gegeben, sondern eine Folge. Das sind zwei verschiedene mathematische Objekte. Man definiert die Reihe zu einer Folge a_n, indem man die Folgenglieder aufsummiert.

[nonplayer141]

hey,
ja, stimmt ich hab gepennt!;-)
danke

[CK..]

Hallo,
Wie ich gesehen habe kennst du dich echt gut aus hätte auch mal ne frage ich habe gegeben:
an= 2n-n²
wie kann ich mir jetzt die rekursive Darstellung ausrechnen kappier das nämlich leider überhaupt nicht :/

[nonplayer141]

Hey!
Du hast an=2n-n2 und sollst die rekursive darstellung machen:

das heißt, dass du immer von deinem vorhergehendem wert in der Reihe aus gehen musst und der heißt an.
somit muss die rekursive darstellung mit
an+1=an +/-* ...... beginnen.
also:

an+1=an+(1-2n)

ich hoffe du kommst damit weiter:-)

[CK..]

Hey!
Du hast an=2n-n2 und sollst die rekursive darstellung machen:

das heißt, dass du immer von deinem vorhergehendem wert in der Reihe aus gehen musst und der heißt an.
somit muss die rekursive darstellung mit
an+1=an +/-* ...... beginnen.
also:

an+1=an+(1-2n)

ich hoffe du kommst damit weiter:-)

bei dem beispiel habe ich an= 2n-n²/ <1,0,-3,-8,-15>
ich verstehe einfach nicht was ich einsetzten muss damit ich auf an+1-2n komme ist das mit gefühl oder ein bestimmter rechenvorgang??

[DonCarlos]

Hey!
Du hast an=2n-n2 und sollst die rekursive darstellung machen:

Darstellung machen? Mir kraeuseln sich die Nackenhaare. Man kann sein Bett machen, oder Fruehstueck oder sonst was. Aber keine Darstellung.


das heißt, dass du immer von deinem vorhergehendem wert in der Reihe aus gehen musst und der heißt an.

Aehm, wie bereits erwaehnt gibt es einen Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe.


somit muss die rekursive darstellung mit
an+1=an +/-* ...... beginnen.

Von "muessen" kann keine Rede sein, sondern man "kann".

[DonCarlos]

ich verstehe einfach nicht was ich einsetzten muss damit ich auf an+1-2n komme ist das mit gefühl oder ein bestimmter rechenvorgang??

Eine Moeglichkeit ist a_n mit a_{n+1} zu vergleichen.
Es gilt a_n = 2n-n^2. Daher folgt a_{n+1}=2(n+1) -(n+1)^2 = 2n+2 - n^2-2n-1 = (2n - n^2) - 2n -1 = a_n - 2n - 1.