vielleicht könnt Ihr mir ja bei folgendem Problem helfen:
Es steht eine Spule zur Verfügung, auf der folgende Angaben zu Schnurdurchmesser / Schnurfassungsvermögen gemacht sind:
0,35 mm - 260 m
0,40 mm - 200 m
0,50 mm - 120 m
Nun muss irgendwie ermittelt werden, wieviel Schnur der Stärke 0,25 mm und 0,60 mm auf diese Spule draufgeht.
Meine Idee dazu war die Bestimmung einer Ausgleichsgerade bzw. -kurve anhand der o.g. drei Punkte. Nur fragt es sich, nach welchem Anpassungsmodell: Linear, exponentiell, polynomial, ... ?
THX,
Galileo
nobody
13.01.2002, 21:38
Hallo Galileo,
wie wäre es mit folgendem Ansatz (sofern Du nicht einen speziellen Lösungsweg wünschst):
Die aufgewickelte Schnur stellt einen Zylinder dar. Dieser hat das Volumen V = r2πh. Hierbei ist r der Durchmesser dividiert durch 2 ... und h ist die Schnurlänge. Unter Berücksichtigung der Rundungsfehler ergibt sich mit den jeweiligen Angaben auf der Spule ein konstantes Volumen. Nun kann man die Volumengleichung nach h auflösen ...?
bm
13.01.2002, 21:44
aber :
es ist ja kein Vollzylinder (das Volumen das die Schnur aufnimmt), sondern sie wird ja auf einen Zylinder selbst aufgewickelt.
Die "Packungsdichte" ist abhängig vom Durchmesser der Schnur, das heisst je dicker die Schnur, desto grössere Leerräume ergeben sich.
nobody
13.01.2002, 21:52
... daran habe ich gar nicht gedacht. Ich hatte meine eigenen (Bastel-)Erfahrungen mit glatten und dünnen Perlonschnüren im Sinn.
Da hat es - theoretisch und praktisch - geklappt.
Hoffentlich fühlt sich Galileo durch meinen naiven und zu simplen Ansatz nicht gekränkt.
Aber ich kann (Mathe ist lang her ... ;) ) momentan keinen anderen Lösungsweg (den ich selbst verstehe bzw. begreife) erkennen.
bm
13.01.2002, 22:40
1572,6 * e-5,148x
scheint mir noch die beste Anpassung zu sein.
(also exponentielle Trendlinie)
http://people.freenet.de/muellerb/Schnur.pdf
upsidedown
13.01.2002, 23:32
... Mit drei Punkten die nicht übereinanderliegen kann man fast jede dreiparametrige Funktion 100% anpassen. Probiers aus - du wirst auch eine Parabel finden die Strich durch alle drei Punkte geht. Aus einer Punktverteilung von weniger als 10 Punkten eine Korrelation ableiten zu wollen liegt (is jetzt keine Unterstellung) irgendwo zwischen Kaffeesatzlesen und Betrug falls man keine theoretische Grundlage vorweisen kann.
Ich hab mich mal an ein Modell gesetzt - aber ich kann jetzt schon sagen, das sich das Ergebniss einer graphischen Auswertung widersetzt. Linerare Regression z.B. ist damit nicht zu machen.
Also:
Die Abwicklung der Spur der Schnur von der Mantelfläche des Zylinders in die Ebene ergibt eine Gerade.
Bezogen auf eine Wicklung ergibt sich das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten <font class="serif">π</font>*D und d mit D Zylinderdurchmesser und d Schnurdurchmesser.
Es ergibt sich also für den Anstellwinkel cos <font class="serif">α</font> = d/( <font class="serif">√</font> (<font class="serif">π</font>²*D²+ d²)
Man kann so ein Dreieck auch für den ganzen Zylinder aufstellen:
cos <font class="serif">α</font> = h/l
gleichsetzten und Sortieren führt bei mir dann zu:
Wie gesagt - mit linearer Regresion ist da nichts zu holen. Das Ganze enthält noch zwei geometrische Parameter der Spule - D und h. Die müssten durch Lösen der speziellen Gleichungen aus zwei Wertepaaren bestimmt werden.
Warum drei Wertepaare gegeben sind ist mir allerdings auch nicht klar - wenn die die numerische Lösbarkeit deutlich beeinträchtigen sollten (Einsetzten und überprüfen!) müsste man das Modell um noch einen zusätzlichen Parameter erweitern. Ich wüsste blos nicht um welchen.
Viel Spass beim Rechnen - die Gleichungen sind etwas unhandlich.
Gruß,
UpsideDown
bm
13.01.2002, 23:49
auch eine Parabel zweiter Ordnung ist durch drei Punkte definiert. Nur diese Regression hat ein Minimun im relevanten Bereich, deshalb habe ich die Näherung als wenig geeignet betrachtet. Und soviel Mühe, wie Du Dir gemacht hast, wollte ich mir nicht machen.
upsidedown
14.01.2002, 00:28
Für dieses Problem ganz entscheidend ist das Verhältniss d/D. Das kann eine gute und eine schlechte Nachricht bedeuten:
Zuerst die schlechte:
Falls sich die Spulendurchmesser als nicht sehr gross gegenüber dem Schnurdurchmesser erweisen sollten muss das Modell noch korrigiert werden: Es ist dann als Wickeldurchmesser nicht mehr D sondern (D+d) anzusetzten, was die Gleichung noch weiter verkompliziert.
Nun die gute:
Bei deinen Zahlen erwarte ich eher das Gegenteil. Wenn D sehr gross gegen d ist geht der Gangwinkel gegen Null. Eine gute Näherung wäre es also die Wicklung als Schichtung von Ringen zu beschreiben.
Das ist dann wieder sehr einfach:
Länge eines Ringes: <font class="serif">π</font> D
Höhe eines Ringes: d
Man kriegt also h/d Ringe unter
-> l = <font class="serif">π</font> D h/d
was doch schon deutlich handlicher ist.
Aber wie gesagt: eine Näherung die als solche an Einschränkungen gebunden ist und keine beliebige Genauigkeit liefern kann.
Man kommt übrigens auf die gleiche Gleichung, wenn man im obigen Ansatz d² gegen ?²D² vernachlässigt (Summen verschiedener Grössenordnungen)
Gruß,
UpsideDown
upsidedown
14.01.2002, 00:48
Ich habs mir grad noch mal vom Computer malen lassen: solange man zwischen d und D mindestens eine Größenordnung Abstand hält ist die Näherung absolut wasserdicht. Solange du also keine Federn wickeln willst (wobei da dann die oben angesprochene Modifikation angebracht wäre!)...
Die Lösung ist also eine stinknormale Hyperbel der Form l = AMantelfläche Zylinder/d
Nu is aber Schluss,
Gute Nacht allerseits,
UpsideDown
nobody
14.01.2002, 16:27
Hallo,
Das war ein gleichermaßen lehrrreiches wie faszinierendes Mathe-Erlebnis für mich. Es lohnt sich, Eure Gedankengänge eingehend nachzuvollziehen.
Galileo
14.01.2002, 18:48
Erst mal danke für die vielen Antworten - hätte nicht gedacht, dass ich auf diese Frage soviel Rücklauf bekomme.
Zur Spule:
Durchmesser (innen) = 32 mm
Höhe = 24 mm
Es kann bis zu einem maximalen Außendurchmesser von 50 mm aufgespult werden.
@ upsidedown:
Wenn ich Deinen Ansatz richtig verstanden habe, dann gehst Du nur von einer einzigen Wicklung auf der ganzen Spule aus. Dies ist hier leider nicht der Fall: Auf der Spule sind viele Wicklungen über einander. Wobei die Idee mit der Schichtung von Ringen vielleicht trotzdem zu gebrauchen ist, nur dass die Schnurlänge eines Ringes dann
halt nicht pi * D beträgt. Allerdings stellt sich bei vielen Wicklungen übereinander natürlich wieder das Frage, inwiefern sich die unterschiedliche "Packungsdichte" auswirkt.
Da dem Ganzen eine praktische Fragestellung zu Grunde liegt, werde ich demnächst wohl oder übel einen Versuch unternehmen. Dann wird sich auch klären, welches Näherungsverfahren eine brauchbare Aussage geliefert hat. Ich halte Euch darüber natürlich auf dem Laufenden; auch wenn es vielleicht noch etwas dauern könnte.
Ciao,
Galileo
upsidedown
14.01.2002, 19:25
uns auch die ganze Aufgabe verräts.. :rolleyes:
Da würde ich folgendermassen rangehen:
Wenn "auf Lücke" gewickelt ist, lässt sich die Packungsdichte auf 90.69% bestimmen. Und mit dieser Information kannst du dann einen Volumenansatz wie von bm vorgeschlagen aufstellen.
Wie ich auf diese packungsdichte komme:
http://mod.chemieonline.de/upsidedown/packung.bmp
Der rote Kasten ist ein sich wiederholendes Element (In der Kristallchemie würde man von einer Elementarmasche reden).
Kurze Kante d, lange Kante <font class="serif">√</font>3 d
mit Draht gefüllte Fläche: mittlerer Kreis + 4 * 1/4 Kreis = <font class="serif">π</font> /2 d²
Aber ein praktischer Rat: Wenn man problemlos eine Frage im Experiment beantworten kann sollte man das auch tun. Man kann sich gar nicht so vermessen wie man sich verrechnen kann ;)
Gruß,
UpsideDown
Galileo
15.01.2002, 18:18
Aber ein praktischer Rat: Wenn man problemlos eine Frage im Experiment beantworten kann sollte man das auch tun. Man kann sich gar nicht so vermessen wie man sich verrechnen kann
Das ist auch meine Meinung. Nur wenn das "Experiment" daneben geht, habe ich einen riesen Aufwand damit die Spule wieder abzuwickeln. Deshalb wollte ich dies zuvor theoretisch angehen.
Aber wie gesagt: Ihr erhaltet Bescheid, wenn es soweit ist.