Funktionsschar [Archiv] - ChemieOnline Forum

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badcip

12.01.2002, 18:55

Ich habe hier eine Aufgabenstellung, bei der ich nicht genau weiß,
was gemeint ist:

Gegegeben sei die Funktionsschar ft(x) = 2+t*sin(x)

c)

Bestimme eine ganzrationale Funktion gt zweiten Grades, so dass sie an
den Stellen 0, 0.5pi und pi mit der Funktion f in den Funktionswerten übereinstimmt. Zeichne
g für t = 3 ebenfalls in das Koordinatensystem ein.

Jetzt weiß ich nicht, was gemeint ist.
Meinen die diese Funktion? gt(x) = t*a*x2 + t*b*x + t*c
oder gt(x) = t*x2 + t*x + t

Eine Funktion, die alle frei Punkte hat, ist kein Problem nur hab ich noch nie was von einer
ganzrationalen Funktion mit einer Schar gehört.

Lim_Dul

12.01.2002, 19:23

Originalnachricht erstellt von badcip
Ich habe hier eine Aufgabenstellung, bei der ich nicht genau weiß,
was gemeint ist:

Gegegeben sei die Funktionsschar ft(x) = 2+t*sin(x)

c)

Bestimme eine ganzrationale Funktion gt zweiten Grades, so dass sie an
den Stellen 0, 0.5pi und pi mit der Funktion f in den Funktionswerten übereinstimmt. Zeichne
g für t = 3 ebenfalls in das Koordinatensystem ein.

Jetzt weiß ich nicht, was gemeint ist.
Meinen die diese Funktion? gt(x) = t*a*x2 + t*b*x + t*c
oder gt(x) = t*x2 + t*x + t

Eine Funktion, die alle frei Punkte hat, ist kein Problem nur hab ich noch nie was von einer
ganzrationalen Funktion mit einer Schar gehört.

Meinen die diese Funktion? gt(x) = t*a*x2 + t*b*x + t*c

Die müssten die meinen. Die muss ja von t abhängen, und ganz rational 2ten Grades sein. Ohne a,b,c wirst du soweit ich das überlicken kann eh nicht auskommen.

buba

12.01.2002, 19:42

Ansatz: ax2 + bx + c = 2 + t·sin(x)

Mit x=0, x=1/2 π, x=π erhälst du drei Gleichungen mit vier Unbekannten; wenn du a, b und c bestimmst, bleibt eine Parabel ("ganzrationale Funktion zweiten Grades"), die von t abhängt, und das is' es doch.

buba

12.01.2002, 23:22

Ich hab das jetzt mal ausrechnen lassen :D

LGS:
2 + t·SIN(0) = c
2 + t·SIN(1/2·π) = a·(1/2·π)2 + b/2·π + c
2 + t·SIN(π) = a·π2 + b·π + c

--->
a = - 4·t/π2
b = 4·t/π
c = 2

--->
gt(x) = - 4·t/π2·x2 + 4·t/π·x + 2

Und siehe da, für t = 2 kommt es perfekt hin:

http://mod.chemieonline.de/buba/sin-parabel.gif

badcip

13.01.2002, 09:51

Jo, super, aber ich hab beider Rechnung ein Problem.

1. 2 + t·SIN(0) = c ----> 2 = c

2. 2 + t·SIN(1/2·π ) = ---> a·(1/2·π )2 + b/2·π + c
---> a·(1/2·π )2 + b/2·π - t = 0

3. 2 + t·SIN(π ) = a·π2 + b·π + c
---> 2 = a·π 2 + b·π + 2

----------------

2. a·(1/2·π )2 + b/2·π - t = 0 | *(-2)

3. a·π2 + b·π = 0

a = - 4·t/π2

Yuuppi

3. -4t + b·π = 0

b = 4·t/π

Yupp Yupp Yuppi :D

Die Kurven ft und gt begrenze eine Fläche. Bestimme den Flächeninhalt in Abhängigkeit in t.

Ich mach jetzt mal die Aufgabe, dann vergleichen wir die Ergebnisse. (Ist ne gute Übung für deine baldige Abi-Klausur. :p
)

badcip

13.01.2002, 11:43

Originalnachricht erstellt von badcip

Die Kurven ft und gt begrenze eine Fläche. Bestimme den Flächeninhalt in Abhängigkeit in t.

Ich mach jetzt mal die Aufgabe, dann vergleichen wir die Ergebnisse. (Ist ne gute Übung für deine baldige Abi-Klausur. :p
)

ft(x) = 2 + tsin(x) gt(x) = - 4·t/π2·x2 + 4·t/π*x + 2

Erst müssen die Schnittpunkte bestimmt werden, dann die Differenzfunktion, dann die Stammfunktion und zum Schluß die Grenzen ausrechnen.

1. Schnittpunkte:

2 + t*sin(x) = - 4·t/π2·x2 + 4·t/π*x + 2 --->

t*sin(x) = - 4·t/π2*x2 + 4·t/π*x |* π2/4t --->

0 = x2 - πx - π2/4 * sin(x)

x1,2 = π/2 +- √π2/4 + π2/4 * sin(x) 

Und hier ist Ende, oder was? :confused:

buba

13.01.2002, 14:31

Dafür gibt es keine Lösungsformel im Sinne von x1,2 = ...
Da musst du anders rangehen.

2 + t·sin(x) = - 4·t/π2·x2 + 4·t/π·x + 2
t·sin(x) = - 4·t/π2·x2 + 4·t/π·x

Die l.S. muss also genau so groß sein wie die r.S.
Schauen wir mal, wann gilt: 0 = 0

t·sin(x) wird für x = 0 auch 0. Die r.S. wird - so ein Zufall - für x = 0 ebenfalls 0!
D.h. ein Schnittpunkt liegt bei x = 0.

t·sin(x) nimmt auch für x = π den Wert 0 an. Ebenso die rechte Seite, da -4t + 4t = 0!
Der zweite Schnittpunkt ist bei x = π, und damit hast du deine Integrationsgrenzen...

badcip

13.01.2002, 14:39

Acha, verstehe. Es geht also sozusagen nur durchs Ausprobieren. Rechnerisch daranzugehen ist als unmöglich, wie ich das sehe.
Dann werde ich mal die Differenzfunktion und Stammunktion ermitteln und es dann reinposten.

badcip

13.01.2002, 18:00

Differenzfunktion:

ft(x) - gt(x)

---> 2 + tsinx+4t/π * x2 - 4t/π * x - 2

Stammfunktion:

F(x) = -tcosx + 4t/3π2 * x3 - 2t/π * x2

Grenzen: (0 - π )

[F(x)] = t + 4tπ/3 - 2tπ + 1

buba

13.01.2002, 18:22

Originalnachricht erstellt von badcip
[F(x)] = t + 4tπ/3 - 2tπ + 1

2t - 2/3 πt = 2/3 t (3 - π) müsste rauskommen...

badcip

15.01.2002, 17:29

Nicht zu vergessen ist aber der Schnittpunkt bei 0.5 π, denn wir haben ja drei, denn es müssen ja alle drei Punkte vorhanden sein.