fibonacci zahlen

[nobody]

im anhang ist eine grafik die zeigt wie 4 flächenstücke in verschiedenen varianten zusammengesetzt werden! (bitte gleich jetz öffnen)


doch wenn man die erste fläche durch die quadratsflächenformel s² (=13²=169) und die zweite fläche mit der rechtecksflächenformel a*b (=21*8=168) berechnet bekommt man, seltsamerweise, zwei verschiedene ergebnisse heraus.... wo liegt der fehler? :confused: für die leute die sowas schon kennen oder für die die herausfinden warum es so ist: wie kann man allgemein beweisen, dass, auch bei anderer wahl der längen (müssen immer aufeinanderfolgende zahlen der fibonacci zahlen sein (d.h. die zwei zahlen die die seitenkante des quadrats bilden müssen im verhältnis: a/b=1/2(1+5) stehen)) immer eine flächendifferenz von 1 besteht? der anfang für diese formel ist:

Für die Fibonacci-Zahlen (mit f1 = f2 = 1, f3 = 2, f4 = 3,...) gilt (für n ≥ 2) die Simpson-Identität:
fn+1 · fn–1 – fn2 =
(–1)n
Der Beweis gelingt mit Hilfe der vollständigen Induktion.
Induktionsanfang (n = 2): f3 · f1 – f2
2 = 2 · 1 – 12 = 2 – 1 = 1 = (–1)2
Induktionsschritt: Es ist zu zeigen, dass gilt: f(n + 1) + 1 · f(n + 1) – 1 – fn + 1
2 = (–1)n + 1

also dann mal viel spaß beim rätseln... ;)
mfg iknix
ps.: ich habe für das rätsel ziemlich lange gebraucht, da es verdammt schwer ist sich in das system einzuarbeiten... (dass fn+1 nicht einfach die n te fibonaccizahl plus 1 sondern die n+1 nte fibonacci zahl ist! lol

[nobody]

da hätte ich noch ne frage was heißt das Hits bei den beiträgen? ist das schon wie viele leute sich das thema shcon angesehen haben?? denn dann würde ich mich schon mal über einen lösungsversuch freuen! ;-) iknix!

[mike87]

Ich würde mir mal die figuren basteln aber genau. dann wirst du schnell beim zusammenbauen unregelmässigkeiten feststellen....P.S. irgendwo wird ein loch entstehen
viel Spass

[mike87]

eehm sorry es ensteht kein loch sondern das gegenteil figuren werden sich überlappen

[Muzmuz]

hallo, mal ne frage:

die zahlen der fibonacci-reihe wachsen ja, wie schon bekannt, exponentiell
die exponentielle näherung, die ich numerisch herausgekriegt habe, ist:

Zn = 0,4472 * (0,5+wurzel(5)/2)n

das 0,5+wurzel(5)/2 kommt vom goldenen schnitt, das ist klar
aber was ist mit dem 0,4472 ?
ist das eine besondere zahl ? lässt sie sich durch eine schöne formel oder einen kunstgriff herleiten ?

weidmanns dank schon mal für die vielzahl an antworten !

lg,
Muzmuz

[Muzmuz]

jo, hab schon gefunden....der wert ist 5-1/2

also ist Zn = (1/2+wurzel(5)/2)n / wurzel(5)

sowas !

lg,
Muzmuz

[nobody]

das mit den überlappenden figuren ist richtig! das heißt die linien die im rechteck die scheinbare "diagonale" bilden, bilden keine gerade. diese krümmung geschieht je nach wahl der zahlen immer wo anders dadurch ist das rechteck immer entweder um 1 kleiner oder um eins größer als das quadrat! mfg iknix

[Praetor]

@ muzmuz:
hättest du mittels diagonalisieren der matrix
{{1,1},{1,0}} und hoch n nehmen leicht rausfinden können.
Vielleicht hast dus ja auch so gemacht :)

Lg, Praetor

[Muzmuz]

hei, praetor !

wie du vielleicht noch von deinen nüssen weisst, kann ich matrizzen nicht mausstehen
ich habe im excel mit den graphen herumgewurschtelt und dann mit den zahlen gespielt, bis ich zu dem ergebnis kam :)

warum eigentlich hast du keine nüsse mehr ?

lg,
Muzmuz

[Praetor]

schade eigentlich, dass du keine matrizen magst. ich hab sie eigentlich recht gern :)
die methode hat halt den vorteil dass man die formel nicht postulieren & dann per induktion beweisen muss. aber ich fasel schon wieder...

ich hatte keine nüsse mehr, weil ich uni mässig einige papers zu schreiben hatte und es deshalb an der zeit für kreative beispiele mangelte.
aber jetzt wo du mich erinnerst, werd ich gar nicht so unwahrscheinlicherweise wieder mal eine nuss posten.