Hallo,
habe ein kleines Problem bei der Konvergenz einer Reihe.
Diese lautet:
(( ((log n)^n)/(n!) )), n>=1
In Worten: Die Reihe Logarithmus von n hoch n und das ganz geteilt durch n Fakultät.
Ich habe irgendwie noch keinen Plan, wie ich vorgehen soll.
Die Aufgabe wurde auch vom Analysisübungszettel( http://www.math.uni-heidelberg.de/studinfo/gerhardt/Analysis-I/Blatt6.pdf (http://www.math.uni-heidelberg.de/studinfo/gerhardt/Analysis-I/Blatt6.pdf) ) genommen, aber interessieren würde es mich trotzdem.
Und falls mir noch jemand einen Tipp zur 2.(i) hätte, wäre ich auch dankbar. Ich denke, man müßte eine Majorante\Minorante finden.
Gruß
Lf
Pomplito
26.05.2005, 14:03
Wenn n! schneller steigt als x^log(x), dann konvergiert es gegen 0.
Folgendes könnte gehen:
x^log_a(x) = a^(log_a(x)²)
insbesondere für a=2, also den binären Logarithmus.
Es reicht also zu zeigen (Die .../log(2) Konstante sollte ja egal sein), dass 2^(lb(n)*lb(n)) << n!
Es reicht also zu zeigen, dass n! mindestens lb(n)² viele Primfaktoren >= 2 enthält. Da aber jede Zahl zwischen 2 und n mindestens einen Primfaktor >= 2 enthält, und lb(n)²<n für alle n>16, so ist n! >> 2^(lb(n)²) und damit konvergiert n^log(n)/n!
Die obere Gleichung kann man mittels Potenzgesetzen nachrechnen, hoffe ich... :)
Praetor
26.05.2005, 14:05
meinst du mit "Reihe" eigentlich Folge, oder werden die Glieder aufsummiert?
Langfingerli
27.05.2005, 11:03
Die Glieder werden aufsummiert, ja.
Aber daß der Bruch konvergiert, heißt ja leider noch nicht, daß die Reihe konvergiert. Die harmonische Reihe ((1/n)) divergiert und die Reihe ((1/n²)) konvergiert, nachzuweisen durch Integralkriterium, aber beide Folgen an sich konvergieren gegen 0.
{{log(n)^n}\over {n!}}
Ahh, Tex ist doch ein nützliches Hilfsmittel. Um dieseReihe geht es also.
Praetor
27.05.2005, 11:36
Verdichtungssatz nach Cauchy und dann Quotientenkriterium anwenden.
(Bruch geht sogar gegen 0!!) => ja, konvergiert.
Langfingerli
27.05.2005, 14:34
Oke, die 2(i) ist in der Zwischenzeit gelöst.
Jetzt kommt noch das eigentliche Problem*g
Langfingerli
27.05.2005, 18:56
oke, ich habe das Quotientenkriterium angewandt, habe aber noch nie etwas logarithmisches abgeschätzt. Bin jetzt hier gelandet:
{{log(n+1)^(n+1)}\over {log(n)^n*(n+1)}}
Das in der oberen Zeile soll "hoch (n+1) sein, aber irgendwie will der nicht wie ich will.
Wer kann mir den entscheidenden Tipp geben?
Gruß und Dank
Lf
Praetor
28.05.2005, 14:24
du sollltest ZUERST Verdichtungssatz nach Cauchy anwenden...
(sonst wirds nix!)
Lg, Praetor
Langfingerli
28.05.2005, 18:00
Hatten wir leider nicht in der Vorlesung.
Nunja, ich werde das mal nachschlagen.
Ansonsten lasse ich es halt bleiben*g.
Trotzdem Danke, Praetor.