Weis einer wie ich diese reihe auflosen kann?.

[Master_User]

Weis jemand wie ich das auflosen kann.
\sum_{k=1}^n~(1/k^2)
Ich ahne das die Funktion irgendwie was mit log zu tun hat, hoffentlich brauche ich nicht wieder die Di-gamma Funktion.

Danke wie immer in voraus.

[Rosentod]

Falls du das Ergebnis nicht hast: \frac{\pi ^2}{6}

[Master_User]

Jo, danke aber ich brauche, leider, noch den Lösungsweg nicht nur das Ergebnis, entweder obere oder untere Schranke oder die Lösung.

[Praetor]

ja hast du denn schonmal eine \frac{1}{n^s} - Reihe berechnet?
Lässt sich der Lösungsweg vielleicht übertragen?
Wie würdest dus denn mit dem Gamma ansetzen?

Lg, Praetor

[Master_User]

Ich nicht aber der Lehrer und ich habe den Lössungs Weg nicht verstanden.

[Praetor]

Dann würds wohl mehr bringen, wir klären erstmal diesen, als dass ich dir ein neues Beispiel zum Kauen vorwerfe...
Wo genau ist dir was unklar, vielleicht möchstest die Schritte posten.
(Oder wenn du Zeit hast den Ganzen, für die Nachwelt und Interessierte :) )

Lg, Praetor

[Master_User]

Der Herr Professor schrieb eines Tages...

[kleinerChemiker]

Hey, Deine Deutschkenntnisse haben sich um einiges verbessert, gratuliere!



lg, Peter!

[Praetor]

@Mods: Bitte vorherigen Beitrag löschen, Zeit ist abgelaufen und ich kann ned mehr bearbeiten! Danke & Lg, Praetor!

Nochmal und vollständig:
Also nein, das hat ja mit dem Beweis für diese (ja Konvergente!) Reihe nichts, aber rein gar nichts zu tun! (ausserdem kommt ja gar keine Gamma-Funktion vor?)
Der Beweis ist um ein vielfaches schwerer.
Die Schranken kannst du über das Integralkriterium herleiten.

Aber das exakte Ergebnis nicht !
Das geht über mehrere Möglichkeiten, die da wären:
Cauchyproduktentwicklung ausrechen (schwer)
Zeta-Funktionentheorie (nicht so schwer, aber braucht viel Grundwissen)
Lineargliedvergleich von Sinusprodukt und Taylorreihe zu sin(x)/x (eigentlich einfach, aber trickreich!)
Gamma-Funktion und de l'Hospital (in diesem Fall die einfachste Möglichkeit)

Also zur Durchführung:
Wir möchten die Summe in ein Produkt umwandeln, dann die Gammafunktion reinbringen, und dann den Grenzwert ausrechnen mit de l'Hospital.
Aaalso (trommelwirbel ;) )...

S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2}}{x}
(na klar, das gilt immer) Insbesondere gilt auch:
S=\lim_{x \to 0}\frac{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1-(1-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2})}{x}
Soweit alles klar. Nun machen wir aus der Summe ein Produkt, ACHTUNG das gilt NUR UND AUSSCHLIESSLICH wegen x \to 0 ! Unbedingt sorgfältig selbst nachprüfen!
S=\lim_{x \to 0}\frac{1-\prod_{n=1}^{\infty}(1- \frac{x}{n^2})}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\prod_{n=1}^{\infty}(\frac{n+\sqrt{x}}{n} \frac{n-\sqrt{x}}{n})}{x}
Und nun steht da (und wieder NUR für x \to 0) zwei mal genau der reziproke Wert der Entwicklung der Gammafunktion nach Gauss, die da lautet: \Gamma (x):= \lim_{n \to \infty} \frac{n!n^{(x-1)}}{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}
Also:
S=\lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{1}{\Gamma (1+\sqrt{x}) \Gamma (1-\sqrt{x})}}{x}
Es ist bekannt, dass für die Gammafunktion und für x aus (-1,1) gilt, dass: \Gamma (1+x) \Gamma (1-x)=\frac{ \pi \sqrt{x}}{Sin(\pi \sqrt{x})}
Damit folgt:
S=\lim_{x \to 0} \frac{1- \frac{Sin(\pi \sqrt{x})}{ \pi \sqrt{x}}}{x}
da gilt, dass \frac{Sin(\pi \sqrt{x})}{ \pi \sqrt{x}} \to 1 für x \to 0, verwenden wir de l'Hospital 2 mal:
S=\lim_{x \to 0}\frac{-{\pi} \sqrt{x} Cos(\sqrt{x} \pi) + Sin(\sqrt{x} \pi)}{2 \pi x^{2/3}}=\lim_{x \to 0}\frac{1/2 (\pi)^2 Sin(\sqrt{x} \pi)}{3 \pi \sqrt{x}}=\frac{ \pi ^2}{6}


Lg, Praetor

(Puh! Hastu aber mächtig Glück dass du wen gefunden hast der das kann ;) - wirklich nicht einfach, hat auch mir Mühe bereitet)

[Master_User]

Danke danke Gott (Praetor), viiiiiiiiiiellen dank, ich komme mir jetzt wirklich klein voll, danke danke noch mal, werde es jetzt gleich nachrechnen, noch mal danke. Spilt es eine rolle das ich n habe anstele von +oo?.

[Master_User]

n->00

[Praetor]

Ich fürchte, der Trick mit der Gamma-Funktion funktioniert nur und ausschliesslich für n \to \infty
Aber darum gehts doch im Endeffekt, oder etwa nicht?

Edit: Hm, hab ich wohl in deinem ersten Post überlesen :( ;
Für die endliche Summe gibts nur eins: ausrechnen (ist ja eh endlich...) oder mit Integralkriterium einschränken (weniger aufwand).
Das würd dann so gehn:
Sei s_n:=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}
Dann gilt laut Integralkriterium, weil a_k=\frac{1}{k^2} streng monoton fallend, dass:
\int_{1}^{n} \frac{1}{k^2} dk \leq s_n \leq a_1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{k^2} dk

oO. War all die Mühe umsonst?

Lg, Praetor