Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Dimension und Basis
LittleIvan
13.12.2001, 12:22
Hallo,
Ich habe mal ne Frage, die wahrscheinlich recht schnell zu beantworten ist, für mein Verständnis aber sehr wichtig ist. Und zwar, nehmen wir an, es sind die Vektoren v1 = (2,0,1) v2 = (4,1,2) und v3 = (0,1,0). Gefragt ist nun nach der Basis, des Raums den diese Vektoren erzeugen und dessen Dimension. So jetzt zu meinem Problem: Eigentlich erzeugen diese Vektoren doch einen zwei-dimensionalen Raum mit der Basis b1 = (0,1,0) und b2 = (2,0,1). Wie kann ich das denn mathematisch richtig herleiten, damit ich auch noch für höherdimensionalige Vektorräume darauf komme, dass die Dimension wie hier zwei ist und nicht drei?
Thx
Karch
13.12.2001, 13:11
Also ich würde sagen, du musst eigentlich nur zeigen, dass einer der Vektoren die Linearkombination der anderen beiden ist. Ist dies der Fall, dann liegt er, wie in diesem Fall, in der Ebene, die von den anderen beiden aufgespannt wird.
Noch was: Du hast den Vektor v1 und v3 als Basis genommen; du könntest aber genauso gut auch v1 und v2 oder v2 und v3 als Basis nehmen. Oder gibt es da spezielle Kriterien, was die Größe der einzelnen Komponenten betrifft? :confused:
F.Karch
upsidedown
13.12.2001, 13:52
Oder gibt es da spezielle Kriterien, was die Größe der einzelnen Komponenten betrifft?
Im Klartext: du erhälst ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten (<font class="serif">λ</font> und <font class="serif">μ</font>). Also aus zweien die beiden Faktoren bestimmen, in die dritte einsetzten und gucken, ob sich ein Widerspruch ergibt.
Wenn du das allgemein machen willst: sagen dir Begriffe wie Koeffizientenmatrix und Gausscher Algorithmus (zur Rangbestimmmung) was?
Gruß,
UpsideDown
LittleIvan
13.12.2001, 13:55
nö Kriterien gabs net,
Ich habe die Aufgabe auch etwas vereinfacht, sie besteht eigentlich aus 5 Vektoren mit jeweils 5 Komponenten. Da ist es etwas kompliziert zu prüfen, welcher Vektor genau da nicht reinpasst, wenn die Basis nur vierdimensionalig ist.
Hier in meinem Beispiel, kann man das ja genau ablesen, aber gibts irgendein Verfahren, welches mir da die Abeit vereinfacht?
Wenn ich aus den 5 Vektoren eine 5x5 Matrix bastele und das homogene Gleichungssystem dann löse, und da ich dann nicht für alle x=0 herausbekomme, dann weiß ich zwar, dass die 5 Vektoren nicht linear unabhängig sind, aber ich weiß nicht genau, welchen Vektor ich rausnehmen muss.....
LittleIvan
13.12.2001, 14:05
kann es sein, dass ich die Koeffizientenmatrix, per Gauss mit Spaltenumformungen auf eine Dreiecksgestallt bringen muss, und es dann einfacher ist, die lineare Unabhängigkeit der einzelnen Spalten zu prüfen?
anders: A Koeffizientenmatrix
==> A = B * C (C Elementarmatrizen durch Spaltenumformungen enthalten)
==> < A1 ,...,An > = < B1 ,...,Bn >
Mit etwas Arbeit kann B recht einfach aussehen, weil ich dann an Spalten wohl auch Nullspalten bekomme. Die Anzahl der anderen Spalten <font class="serif">≠</font>0 gibt mir dann den Rang von A an, und somit die Dimension sowie die Basis von dem Raum, der durch meine Ausgangsvektoren erzeugt wurde. Ist das korrekt? Dann hätt ich es endlich raus.....
Also ich hab das jetzt mal mit einem etwas schwierigeren Beispiel durchgerechnet, und das geht wirklich so. Danke für den Tip mit Gauss, ich hatte das alles im Heft stehen, aber scheinbar wieder vergessen.
upsidedown
13.12.2001, 17:36
aber ich weiß nicht genau, welchen Vektor ich rausnehmen muss.....