Konvergenz-Problem

[Sternenlicht]

Hi!!

Ich habe ein klitzekleines Problem mit einer Konvergenzaufgabe.

Es sei an eine Folge reeller Zahlen >1.
Ich soll zeigen, dass, wenn die Folge (a1 *a2 *****an ) konvergiert, auch die Reihe \sum_{n=1}^ \infty ~(an -1) konvergiert.

Die einzige Idee die ich dazu habe, ist dass ich mir eine Beispielfolge nehmen kann; z.B. 1+1/n, die, wenn man die Folgenglieder multipliziert, konvergiert. Das ist aber weder ein Beweis, noch ein brauchbarer Ansatz. :confused:

Danke im Vorraus. :)

PS. Sorry für die verkrüppelte Formel. *g*

[Praetor]

die Beispielfolge ist kein geeignetes Beispiel :) Das unendliche Produkt konvergiert nicht - genausowenig wie \sum_{n=1}^ \infty a_n -1 konvergiert...

Welche Kriterien hast du zum Beweis der Konvergenz von Reihen zur Verfügung?
Lässt sich auf eine dieser vielleicht die Bedingung geschickt anwenden?

Hoffe auf den richtigen Dampfer geholfen zu haben - falls nicht: Vorschläge, Rückfragen posten :)

[Sternenlicht]

Hi!! :)

Hmm, also ich setze vorraus, dass die Folge (a1*a2 *****an ) konvergiert und beweise dann irgendwie, dass sie schneller anwächst als die gegebene Reihe, also eine Majorante darstellt(richtig?). Somit muss die Reihe auch konvergieren.
Das Problem liegt 1. in dem Beweis und 2. darin, dass ich nicht weiß, ob man aus der Konvergenz einer Folge die Konvergenz einer Reihe folgern kann.

Thanks for help :sunshine:

[Rosentod]

dass ich nicht weiß, ob man aus der Konvergenz einer Folge die Konvergenz einer Reihe folgern kann.Die Reihe einer konvergierenden Folge kann konvergieren, muss aber nicht. Beispielsweise divergiert \displaystyle \sum_{\tiny{k=0}}^{\tiny{\infty}}{\frac{1}{k}}.

[Sternenlicht]

hmmmm :confused:

[Sternenlicht]

...lassen sich die (an - 1) irgendwie durch die Folgenglieder der Produktfolge darstellen?

...bin langsam am verzweifeln.

:help:

[Rosentod]

\displaystyle \sum_{\tiny{k=0}}^{\tiny{\infty}}{\frac{1}{k}}Ich meinte natürlich \displaystyle \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}{\frac{1}{k}}. Wie peinlich ...

[Sternenlicht]

also das hilft mir auch nicht wirklich...

[DonCarlos]

Hallo Sternenlicht!

Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du zeigen:
\Pi_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}a_k mit a_k \in \mathbb{R}_{> 1} konvergiert \Longrightarrow \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}(a_k-1) konvergiert.

Du und Rosentod haben aber doch ein Gegenbeispiel gebracht, dass diese Aussage falsch ist!
Wie du richtig bemerkt hast, konvergiert \Pi_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}a_k
mit a_k := 1 + \frac{1}{k} (gegen 1). Dann ist a_k - 1 = \frac{1}{k} und wir erhalten
für \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}(a_k - 1) = \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}\frac{1}{k} die harmonische Reihe, die ja bekanntermaßen nicht konvergiert.

[Praetor]

Hallo Sternenlicht!

Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du zeigen:
\Pi_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}a_k mit a_k \in \mathbb{R}_{> 1} konvergiert \Longrightarrow \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}(a_k-1) konvergiert.

Du und Rosentod haben aber doch ein Gegenbeispiel gebracht, dass diese Aussage falsch ist!
Wie du richtig bemerkt hast, konvergiert \Pi_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}a_k
mit a_k := 1 + \frac{1}{k} (gegen 1). Dann ist a_k - 1 = \frac{1}{k} und wir erhalten
für \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}(a_k - 1) = \sum_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}\frac{1}{k} die harmonische Reihe, die ja bekanntermaßen nicht konvergiert.

\Pi_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}a_k
konvergiert nicht!

Du musst nur zeigen, dass gilt:
s_n:= \sum_{i=1}^{n}(a_n-1) \le a_1a_2...a_n

ist das so schwer?
(ausmultiplizieren reicht doch schon...)

[DonCarlos]

\Pi_{\tiny{k=1}}^{\tiny{\infty}}a_kkonvergiert nicht!
Praetor hat Recht (wie so oft ;) ). Da habe ich mich grob vertan. Sorry!

[Bleizucker]

hmm.... also "durch Ausprobieren" erst einmal davon überzeugt, dass der Sachverhalt wohl richtig ist.
Der direkte Beweis, dass das die Summe von 1 bis n immer kleiner ist, als das Produkt von 1 bis n, wird nicht gelingen, weil die Voraussetzung nicht berücksichtigt wird, dass das unendliche Produkt konvergent ist.

Ein unendliches Produkt von Zahlen größer 1 kann aber nur dann endlich (konvergent) sein, wenn für jedes epsilon größer 0 nur endlich viele Zahlen größer (1+epsilon) sind. Ich nehme an, dass das im Beweis ausgenutzt werden muss.

[Praetor]

hmm.... also "durch Ausprobieren" erst einmal davon überzeugt, dass der Sachverhalt wohl richtig ist.
Der direkte Beweis, dass das die Summe von 1 bis n immer kleiner ist, als das Produkt von 1 bis n, wird nicht gelingen, weil die Voraussetzung nicht berücksichtigt wird, dass das unendliche Produkt konvergent ist.

Ein unendliches Produkt von Zahlen größer 1 kann aber nur dann endlich (konvergent) sein, wenn für jedes epsilon größer 0 nur endlich viele Zahlen größer (1+epsilon) sind. Ich nehme an, dass das im Beweis ausgenutzt werden muss.

doch es geht schon. probiers mal aus. :)