herleiten: Wie viele Spiele hat ein Turnier(-runde)?

[Achereto]

Der Ansatz ist mir mit den komplexen Zahlen gelungen. Es geht um ein Turnier, das zu am Anfang 2n spiele hat (n e N). herauszufinden ist, wie viele Spiele die nächste Runde hat. Um die ganze Aufgabe nicht zu leicht zu machen, läuft das Turnier nicht im einfachen, sondern im doppelten K.O.-System. Das heißt, wenn jemand bis zu einer bestimmten Runde t im Winnerbracket verliert, darf er im Loserbracket weiterspielen. Für jede Runde sei eine komplexe Zahl zt definiert.

Während der Realteil äußerst einfach zu berechnen ist (er muss nämlich einfach nur stetig halbiert werden, bis er bei 1 angelangt ist), habe ich große Probleme mit dem Imaginarteil, denn:
Im(z1) = 0
Im(z2) = 1/2 * Re(z1)
Im(z3) = 1/2 Im(z2) + 1/2 * Re(z1)
ODER
Im(z3) = 1/2 Im(z2)
je nachdem, wie viele Doppel-K.O.-Runden vorgesehen sind.

Zusätzlich bekomme ich das Problem, wenn z.B. bei 2^4 Runden und 2 Doppel-K.O.-Runden das Problem, dass am Ende genau 3 Runden (komplex: 1+2i) übrig bleiben. Ich möchte ebenfalls herausfinden, wie diese Fälle von n und t abhängig sind, damit ich sie in einem später entwickelten Script "verbieten" kann.

Folgende Reihen habe ich "per Hand" berechnet. Sie gelten für das Beispiel n=4 bei veränderlichen t (t={1;2})
t=1
z1 = 24
z2 = 23 + 23i
z3 = 22 + 22i
z4 = 2 + 2i
z5 = 1 + i
z6 = 0.5 + 0.5i =>Finale

t=2
z1 = 24
z2 = 23 + 23i
z3 = 22 + 22i + 22i = 22 + 23i
z4 = 2 + 22i
z5 = 1 + 2i => Re(z5) + Im(z5) = 3

für t=3 lautet z5: 1 +3i. Das sind immerhin wieder 4 Spiele,a uch wenn 3 aus dem Loser und eines aus dem Winnerbracket. Falls es von den Formeln her aber nicht funktionert, kann das auch bereits als "nicht möglich" deklariert werden.

[Achereto]

So, bin jetzt einen beachtlichen Schritt weiter gekommen.
Realteil: Anzahl der Spiele im Winnerbracket
Imaginärteil: Anzahl der SPiele im Loserbracket
n: Anzahl der Spiele in RUnde 1
d: Anzahl der (Vollzogenen) Doble-Elimination-Runden
r: Nummer der Runde
Z: Anzahl der Spiele in einer Runde

Die Formel lautet:
Z(r;n;d) = n/2r-1 + di* n/2r-1 für alle r > d.
Ist r < d, so wird der Faktor d in der Formel so angepasst, dass er gleich r-1 ist.

Mir fehlt jetzt nur noch eine Möglichkeit, allgemein herauszufinden, für welche d die Formel für ein Turnier mit normalem abschließenden K.O.-System gültig ist. sprich: Re(Z)+Im(Z) muss am Ende gleich 2x sein, wobei x natürlich ist. Gefunden habe ich bis jetzt die 1,3 und 7, was ja im nachhinein plausibel erscheint, da 3-1=21 und 7-3=22 ist.

P.S:Gibt es hier eigentlich jemanden, der sich mit mir Gedanken darüber macht? Wäre schon dankbar für ne kleine IM-Notiz. Sonst schreibe ich den ganzen Knorz hier umsonst. :/

[Suse]

P.S:Gibt es hier eigentlich jemanden, der sich mit mir Gedanken darüber macht?
Würd ich ja gerne, aber mir ist komplett schleierhaft, was Du da mit den komplexen Zahlen machst. Könnte daran liegen, dass die mir schon immer unsympathisch waren :-(

Gruß Suse

[Achereto]

Ich hab die komplexen Zahlen gewählt, weil sie genau zwei Werte haben. Genausogut könnte man natürlich auch eine normale Ebene benutzen und entsprechend die Koordinaten verwenden.
2 Werte deshalb, weil es bei einem Turnier mit doppeltem K.O-System eben einen Sieger- und einen Verlierer-Baum gibt, die sich von der Anzahl der Spiele vollkommen anders verhalten. Während sich die die Spiele im "Winnerbracket" einfach jede Runde halbieren (die hälfte aller MAnnschaften "scheidet aus"), kann es im "Loserbracket" dazu kommen, dass nochmal neue Spiele hinzukommen (Die Verlierer aus dem Winnerbracket spielen im Loserbracket weiter).