Borg
21.11.2001, 15:54
ich soll einen beweis für den grenzwertsatz für differenzfolgen führen, ich komm aber an einer (der entscheidenden ;)) stelle nicht weiter.
der satz lautet:
lim (an-bn) = lim an - lim bn.
die beiden teilfolgen sind natürlich konvergent, außerdem gilt: lim an = a und lim bn = b.
um zu zeigen, dass eine zahl g grenzwert einer folge ist, muss gezeigt werden, dass zu jedem <font class="serif">ε</font>>0 einer epsilon-umgebung um den grenzwert ein index n0(<font class="serif">ε</font> )existiert so dass gilt: |an-g|< <font class="serif">ε</font> für alle n>=n0(<font class="serif">ε</font>)
(ich gebe das an, da ich nicht weiß, wie einheitlich die bezeichnungen sind. als ich neulich mal in ein heft aus der paralellklasse zu dem thema geguckt habe, habe ich nur bahnhof verstanden, da die den beweis komplett anders führen.)
desweiteren stehen noch 2 bewiesene hilfssätze zur verfügung (dann geht's aber auch schon fast los ;))
a)|a|+|b| >= |a+b|
b)|a|*|b| = |a*b|
ich muss nun zeigen:
zu jedem <font class="serif">ε</font>>0 existiert ein index n0(<font class="serif">ε</font>) so dass gilt: |(an-bn)-(a-b)|< <font class="serif">ε</font> für alle n>=n0(<font class="serif">ε</font>)
|(an-bn)-(a-b)|=|(an-a) + (b-bn)| <= |an-a| + |b-bn|
und nu ?
ich muss ja nun zeigen, dass ein index existiert, so dass die summe der beiden beträge kleiner epsilon ist.
|an-a| ist nach voraussetzung ab einem bestimmten index für alle weiteren glieder kleiner als jede beliebige zahl. aber |b-bn| durchschaue ich noch nicht ganz.
kann mir wer helfen ?
der satz lautet:
lim (an-bn) = lim an - lim bn.
die beiden teilfolgen sind natürlich konvergent, außerdem gilt: lim an = a und lim bn = b.
um zu zeigen, dass eine zahl g grenzwert einer folge ist, muss gezeigt werden, dass zu jedem <font class="serif">ε</font>>0 einer epsilon-umgebung um den grenzwert ein index n0(<font class="serif">ε</font> )existiert so dass gilt: |an-g|< <font class="serif">ε</font> für alle n>=n0(<font class="serif">ε</font>)
(ich gebe das an, da ich nicht weiß, wie einheitlich die bezeichnungen sind. als ich neulich mal in ein heft aus der paralellklasse zu dem thema geguckt habe, habe ich nur bahnhof verstanden, da die den beweis komplett anders führen.)
desweiteren stehen noch 2 bewiesene hilfssätze zur verfügung (dann geht's aber auch schon fast los ;))
a)|a|+|b| >= |a+b|
b)|a|*|b| = |a*b|
ich muss nun zeigen:
zu jedem <font class="serif">ε</font>>0 existiert ein index n0(<font class="serif">ε</font>) so dass gilt: |(an-bn)-(a-b)|< <font class="serif">ε</font> für alle n>=n0(<font class="serif">ε</font>)
|(an-bn)-(a-b)|=|(an-a) + (b-bn)| <= |an-a| + |b-bn|
und nu ?
ich muss ja nun zeigen, dass ein index existiert, so dass die summe der beiden beträge kleiner epsilon ist.
|an-a| ist nach voraussetzung ab einem bestimmten index für alle weiteren glieder kleiner als jede beliebige zahl. aber |b-bn| durchschaue ich noch nicht ganz.
kann mir wer helfen ?