Logik

[Borg]

behauptung:
(A => B) <=> (nicht B => nicht A)

beweis 1) '=>'
es gelte aussage (A => B)
mindestens eine der beiden implikationen (nicht B => nicht A) bzw. (nicht B => A) muss wahr sein.
aus (nicht B => A) erhält man wegen (A=>B) die falsche aussage (nicht B => B). also gilt: (nicht B => A)
damit ist gezeigt: (A=>B) => (nicht B => A)

beweis 2) '<='
zu zeigen: (nicht B => nicht A) => (A => B)
aus (nicht B => nicht A) ==(nach 1)==> (nicht nicht A => nicht nicht B) = (A => B)


soweit der beweis. ich habe bei (2) ein verständnisproblem, dass ich schwer in worte fassen kann. ich versuchsmal mit: häh ? ;)
warum muss mindestens eine aussage gelten? warum besteht zwangsläufig ein zusammenhang zwischen den aussagen ?

ich habe naürlich in der stunden schon nachgefragt, mein lehrer sagt, er habe im studium mal von einer gruppe mathematikern gehört, die dieses anzweifelten. er wisse aber weder namen, noch genaue theorie dieser gruppe. kann mir dazu wer was zu sagen ? oder kann wer versuchen zu (2) zu erklären?

schankedön

(beim nochmaligem durchlesen fällt mir gerade mal auf, das der beweis meiner meinung nach nicht sehr sauber ist. ich meine in (2) setze ich genau das voraus, was ich zeigen will, das irgendwas anderes nicht gilt kann mir dann doch wurst nase sein, oder ?)

[mp67]

Originalnachricht erstellt von Borg
behauptung:
(A => B) <=> (nicht B => nicht A)
beweis
(1) es gelte folgende aussage (A => B)
(2) mindestens eine der beiden implikationen a)(nicht B => nicht A) oder b) (nicht B => A) muss wahr sein.
(3) b) kann nicht wahr sein, denn aus (nicht B => A) und (A=>B) (siehe (1)) ergibt sich (nicht B => B)
(4) demnach muss a) wahr sein !

soweit der beweis.

Kennst du die Werbung wo ein man in eine Kneipe kommt, einen Whisky haben will, einen kriegt und sagt: "Das ist kein Jim Beam!" ?

Nun, DAS ist kein Beweis. 1. '<=>' steht für eine Äquivalenz, d.h. es sind beide Teilimplikationen zu zeigen. 2. Kommt man mit der von Dir hier kolportierten Rabulistik regelmäßig in die Sümpfe, d.h. man verrennt sich in irgendeinem logischen Kauderwelsch. 3. Derartige aussagenlogische Beweise lassen sich sicher, sauber und mühelos unter Benutzung der zugrunde liegenden binären Boole'schen Fktt. beweisen, d.h. im vorliegenden Fall ist zu zeigen, daß die Wahrheitstafel von A=>B identisch mit der von (nicht B) => (nicht A) ist.

Diejenige der Implikation A=>B sieht so aus ( und ist mit der von '(nicht A) oder B' identisch )


A=>B


A\B! W ! F !
W ! W ! F !
F ! W ! W !

Wenn man sich nunmehr die der zugehörigen Kontraposition (darum geht es ja eigentlich) ansieht, findet man (nach einiger Logelei), dass sie identisch sind, d.h. eine Implikation und die zu ihr gehörige Kontraposition sind einander logisch äquivalent.

M.

[Lim_Dul]

A => B ist definiert als: A' v B (Nicht A oder B)

A => B <=> A' v B
<=> B'' v A'
<=> B' => A'

qed. :)

[Borg]

@mp67: ich versuch gar nicht erst dir zu folgen, das ist mir entschieden zu hoch, ok? ;)
nur soviel: die "andere richtung" des beweises haben wir dazu auch noch gemacht, ich hab sie weggelassen, da sie auf dem kram aufbaut, und wenn man den schon nicht glaubt, ist es ziemlich sinnlos, damit noch eine andere aussage beweisen. der vollständigkeit halber:

zu zeigen: (nicht B => nicht A) => (A => B)
aus (nicht B => nicht A) => (nach beweis von oben) (nicht nicht A => nicht nicht B) = (A => B)

@ Lim_Dul
was wie hä ? wer hat das definiert, was ist damit gemeint, ich bitte um erklärung.
heute mittag hatte ich gedacht es ist eigentlich auch nicht so wichtig das zu verstehen, aber jetzt habt ihr mich neugierig gemacht.

[Lim_Dul]

A => B heißt ja A impliziert B
Die Wahrheits Tabelle sieht wie folgt aus:


| A | B | A=>B | A' v B |
-------------------------
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
-------------------------


Logisch oder? ;)

[Borg]

nein, leider noch nicht. :(

unterbrich mich, wenn ich falsch liege:
also in diese tabelle setzt man eine 1 für wahr, eine 0 für falsch. in den ersten beiden spalten, bist du die 4 theoretisch möglichen relationen in der A und B zueinander stehen können durchgegangen.
in der nächsten spalte hast du dann geguckt, welche davon (A=>B) erfüllen. die 3. tut das nicht ((A=> nicht B) steht im widerspruch zu (A=>B)) alle anderen könnten möglich sein.
in der lezten spalte steht ein 'wahr' wenn entweder (nicht A) oder B erfüllt ist.

was sagt mir das aber ? und was hab ich davon für den beweis?

[Lim_Dul]

Das sagt das A => B das gleiche ist wie A' v B
Soweit ok ?

Außerdem gilt natürlich B''=B (Nicht Nicht B = B)
und es gilt A v B = B v A (kommutativ)

und nun guck dir nochmal meinen 2ten Post hier im Thread an :)

[Borg]

*fitz* :light:

mit der tabelle wolltest du zeigen, dass (A=>B) = (A' v B) ist, und damit lässt sich der rest beweisen.
dankeschön, ich glaub ich hab's verstanden.

[Borg]

müsste die 2. tabellenzeile für A=>B nicht falsch sein ? ebenso für A' v B, das ist doch ein ausschließendes oder...

[Lim_Dul]

A' v B ist inklusives Oder.

A=>B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
Wenn A falsch ist, ist die Aussage aus A=>B eh war, da man aus einer falschen Aussage alles folgern kann.

Beispiel:
Wennn es regnet, dann nehme ich den Schirm mit.
Diese Aussage ist nur falsch, wenn es A) regnet und ich B) den Schirm nicht mitnehme.

PS: Exklusives Oder wird in der Logig nicht so oft benutzt und meistens wird es dann explizit gekennzeichnet (XOR). Das Zeichen fällt mir gerade nicht ein ;)

[Hoschi]

Hi !

beschäftige mich grad mit aussagenlogik und die impikation bereitet mir a bissl kopfzerbrechen.

ich habe zwar ein gutes buch zur hand "amthematik für einsteiger" von klaus fritzsche

aber mir ist echt net kalr warum man aus einer falschen aussage alles folgern kann

ps der beweis für a => b <=> b´ >a´

ist anhang der wahrheitstabelle am einfachsten nach zuvollziehen