Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

[thomasbaeuml]

Sei m \in N \backslash \{0\} und \alpha \in R^{+} .

x_0=max(1,\alpha) \ ; \ x_{n+1}=x_n(1-\frac{1}{m}(1-\frac{\alpha}{x^m_n})) \ \ , \ n \in N

Man soll zeigen, dass die Folge konvergiert und den Grenzwert bestimmen.


Ich denke, dass der Grenzwert lim_{n \rightarrow \infty}x_n=\sqrt[m]{\alpha} ist, da dann \frac{x_{n+1}}{x_n}=1.

Aber ich weiß nicht wie ich überhaupt zeigen soll, dass die Folge konvergiert bzw. dass sie sich \sqrt[m]{\alpha} annähert.

[Silencia]

kannste das ganze nicht per induktion beweisen? also für n=0, n=1, n+1

[Rosentod]

Ich denke, dass der Grenzwert lim_{n \rightarrow \infty}x_n=\sqrt[m]{\alpha} ist, da dann \frac{x_{n+1}}{x_n}=1. Grundlage dessen wäre der Banach'sche Fixpunktsatz. Du müsstest allerdings erst zeigen, dass dessen Bedingungen erfüllt sind, insbesondere dass es sich um eine kontrahierende Abbildung (||\Phi (x) -\Phi (y)||\leq L||x-y||,\ L<1) handelt.