Ich will die Monotonie dieser Folge herausbekommen, ich hab schon verschiedenes versucht aber es gelingt mir nicht.
das ganze sollte auf dem standard der 11. Klasse(also ohne vollständige Induktion).
an= n+1-n ;
Bitte helft mir Danke.
Rosentod
09.03.2005, 16:31
also ohne vollständige InduktionSchade. :D
Wie wär's dann mit Ableiten?
beweisen wäre wohl das beste ;-) also ableiten, nur komme ich nicht weiter...
Rosentod
09.03.2005, 16:47
an= n+1-n
Als Funktion:
a(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\
a^'(n)=\frac{1}{2\sqrt{n+1}}-\frac{1}{2\sqrt{n}}
Ist die Ableitung nun größer, kleiner oder gleich 0?
Also ich geh jetzt mal von Rosentods Ableitung aus.
Sowohl der erste als auch der zweite Summand sind positiv, weil der Nenner immer größer Null ist (für natürliche n, was aber sowieso Vorraussetzung ist).
Das heißt, du musst jetzt schauen, welcher Bruch von beiden größer ist. Denn es ist ein Unterschied, ob du zum Beispiel 0,3 – 0,2 oder 0,2 – 0,3 rechnest. Ziel ist ja immer noch: ist die Ableitung größer oder kleiner Null?
Ein Bruch ist umso kleiner, um so größer der Nenner ist. Zum Beispiel ist 1/ 2 größer als 1/3. Schau also die zwei Nenner an: du siehst, 2 Mal Wurzel aus n+1 ist größer als 2 Mal Wurzel n. Der gesamte erste Bruch ist also kleiner als der zweite. Du machst also „kleine positive Zahl“ minus „große positive Zahl“.
Das Ergebnis ist negativ. Und weil die Ableitung negativ ist, ist deine Folge monoton fallend.
Ich hoffe, das konnte dir ein bisschen weiterhelfen. Bin selbst kein Mathe-Ass, daher auch die einfache Ausdrucksweise.
Gruß und so,
LaVoix