Geradenschar bildet eine Ebene

[buba]

Hallo,

eine Ebenengleichung lässt sich ja aus verschiedenen gegebenen Angaben aufstellen, z.B. durch einen Punkt und eine Gerade oder durch zwei Geraden (Parallelen oder sich schneidende Geraden). So weit, so gut.
Aber wie beweist/zeigt man, dass eine bestimmte Geradenschar (in Parameterform gegeben) eine Ebene bildet bzw. nicht in einer Ebene liegt?

:confused:

[bm]

die gleiche Steigung haben :

partielle Ableitungen sollten gleich sein.

Sicher bin ich aber nicht, liegt etwas lange zurück.

[buba]

Wir haben in der analytischen Geometrie nicht mit Steigungen oder partiellen Ableitungen gearbeitet. Es muss eine andere Methode geben.

Vielleicht hilft ja ein konkretes Beispiel:


→ ( 2 ) ( a-1 )
X = | 0 | + μ | 2a+2 |
( 2 ) ( -a )

[upsidedown]

Ganz einfacher Ansatz:

Spatprodukt aufstellen - wenns 0 ergibt hast du ne Ebene.

Spatprodukt:

x1 (x2 X x3 )

wobei du die verschiedenen x-se auch nach belieben vertauschen kannst (und eventuell auch solltest).

Anschaulich: die obige Formel berechnet das Volumen des Spates, das von den drei Vektoren aufgespannt wird. Und wenn die dreie in einer Ebene liegen, wirds halt gerade null.

Gruß,
UpsideDown

[buba]

Wir hatten das Spatprodukt (bzw. Vektormultiplikation) noch nicht! :(

Diese Aufgabe kommt noch vor den Themen Spurgerade einer Ebene, Schnittgerade zweier Ebenen, Ebenenscharen, Trägergerade, Einheitsvektor, Skalarprodukt,... im Lehrbuch vor.

:confused:

[Ace]

@Buba

Wenn du die Koordinatengleichung der Ebene (x y z) hast, kannst du 2 Punkte aus der Parameter-Form der Geraden in die Ebenen-Gleichung einsetzen.

Stimmt die Gleichung für beide Punkte, liegt die Gerade in der Ebene. Ansonsten eben nicht.

Hoffe, das es dir etwas hilft!

[upsidedown]

Beweis durch probieren war schon immer kritisch...

[buba]

@Ace:
Ich soll eine Ebenengleichung selber aufstellen (vorher zeigen, dass es eine gibt), nicht vergleichen, ob für verschiedene a eine gegebene Gleichung erfüllt ist...

[upsidedown]

Habs grad mal durchgerechnet. Es geht auch ohne diverse Tricksereien.

Deine Bedingung dafür, das die Geraden alle eine Ebene aufspannen ist, das sich jede Gerade durch die kollineare Beziehung aus zwei beliebigen anderen Geraden der Schar darstellen lässt (kollinerare Abhängigkeit). Es reicht, sich auf die Richtungsvektoren zu beziehen.

Es muss also die folgende Beziehung immer lösbar sein:

C1 x1 + C2 x2 = x3

Kurze Skizze des Rechenweges:

obige Vektorgleichung aufstellen
in Komponentengleichungen zerlegen
aus zweien davon C1 und C2 bestimmen
in verbliebene Gleichung die Lösungen einsetzten und überprüfen, ob sich ein Widerspruch ergibt.

Die Rechnung bläht sich etwas auf, bei fällt dann aber in sich zusammen. Bei mir blieb jedenfalls ein handliches 0=0 übrig. Die Schar bildet also eine Ebene.

Gruß,
UpsideDown

[buba]

Originalnachricht erstellt von upsidedown
C1 x1 + C2 x2 = x3

Kurze Skizze des Rechenweges:

obige Vektorgleichung aufstellen
in Komponentengleichungen zerlegen
aus zweien davon C1 und C2 bestimmen
in verbliebene Gleichung die Lösungen einsetzten und überprüfen, ob sich ein Widerspruch ergibt.
Meinst du damit "Koordinatenform in Parameterform bringen"?
:confused:

[upsidedown]

Ich meine damit, dass du
http://mod.chemieonline.de/upsidedown/vektorgleichung.gif

Gruß,
UpsideDown

[buba]

Danke an alle, die was gepostet haben,

ich glaube, das lasse ich erst mal gut sein. Wird schon nicht drankommen am Dienstag... http://mod.chemieonline.de/buba/smilies-temp/erm.gif

Außerdem bin ich ohnehin "verwirrt". Ich setze eine Aufgabe zweimal an und zweimal kommt was anderes raus, aber natürlich nicht das, was rauskommen sollte... :sad: