Wie kommt man von rekursiv auf explizit?

[LaVoix]

Hallo!
In wenigen Wochen habe ich Abi und ein großes Problem: das Thema Folgen ist schon über 1 Jahr her und ich hab nicht mehr so die Ahnung davon. Was ich an der ganzen Sache noch nicht verstanden habe:
Wie kommt man generell von einer rekursiven auf eine explizite Folge?
Und noch eine Aufgabe, die ich aufgrund meines Unwissens nicht lösen kann (sorry für die unprofessionelle Schreibweise):

a n+1 = a n + (1/((2n+1)*(2n+3))) ; a 1 = (1/3)

Wäre nett wenn mir das jemand möglichst einfach erklären könnte. Danke!

[Godwael]

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Soweit ich weiß, ist es in den allermeisten Fällen nicht möglich, eine rekursive Folge in eine explizite umzuwandeln.

[Rosentod]

Willkommen im Forum :)

Soweit ich weiß, ist es in den allermeisten Fällen nicht möglich, eine rekursive Folge in eine explizite umzuwandeln.Bei Schulaufgaben ist es häufig schon möglich. Allerdings gibt es kein allgemeines Kochrezept. Es ist immer eine gute Idee, die ersten paar Folgeglieder hinzuschreiben. Dann erkennt man (etwas Intelligenz und Erfahrung vorausgesetzt) meist ein Muster. Auch gibt die Form der rekursiven Darstellung manchmal schon einen Hinweis.
Wenn man keinen Blick für sowas hat, ist es nicht einfach. Aber da hilft nur Übung.

Zu der Folge, die du gepostet hast: Was genau ist denn die Aufgabe?

[LaVoix]

Die Folge (a n) ist gegeben durch :

a n+1 = a n + (1/((2n+1)*(2n+3))) und a1 = (1/3)

also, a n+1 besteht aus zwei Summanden, der eine ist a n und dann kommt ein Ausdruck mit Zähler = 1 und Nenner = (2n+1)*(2n+3), nur soviel nochmal zur Schreibweise ;)

Aufgabe: Geben Sie einen Term für a n in geschlossener Form an und begründen Sie Ihr Ergebnis. (Aufgabe aus dem Wahlteil Mathe fürs Abi)

Ich habe nach einem "allgemeinen Rezept" gefragt, weil ich mich leise daran erinnere, dass man irgendwie schauen muss, wie sich der Index von a n+1 dann wiederfindet. Aber wie gesagt, ich hab da nicht mehr so die Ahnung.

[Scheintoter]

Am einfachsten ist es erst einmal die ersten Folgenglieder berechnen:

a_1=\frac{1}{3}\\
a_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\\
a_3=\frac{2}{5}+\frac{1}{5\cdot 7}=\frac{15}{5\cdot 7}=\frac{3}{7}\\
a_4=\frac{3}{7}+\frac{1}{7\cdot 9}=\frac{28}{7\cdot 9}=\frac{4}{9}\\


Ich sehe darin die Regelmäßigkeit a_n=\frac{n}{2n+1}

Um diese Theorie zu überprüfen muss man einsetzen:
a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{n\cdot(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}\\
=\frac{n\cdot(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{n+1}{2n+3}
=\frac{n+1}{2(n+1)+1}\\

Dies ist die Formel a_n=\frac{n}{2n+1}, wobei n durch n+1 ersetzt wurde. Damit ist die Behauptung bewiesen.

[LaVoix]

Hey cool! Danke =)
Dachte schon hier könnte mir niemand helfen... also nochmal: vielen Dank ;)