Monotonie bei Binomialkoeffizienten

[nobody]

Hallo!
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, daß bei festem n die Binomialkoeffizienten ("n über k") im Bereich 0 <= k <= n zunächst wachsen und dann fallen.
Hinweis: Für positive a und b ist a <= b äquivalent zu b/a >= 1.

Für welches oder für welche k wird dabei der Binomialkoeffizient maximal bzw. minimal?

Für einen kleinen Tip oder Denkanstoß wär ich sehr dankbar!
Danke
Andy

[hippie]

Wenn es nur ein Denkanstoß sein soll: Pascalsches Dreieck

[nobody]

So weit war ich eigentlich auch schon....ich hab nur probleme, das alles in mathematischen Formeln auszudrücken

Trotzdem Danke
Andy

[Lim_Dul]

n über k wird dann maximal, wenn der Nenner möglichist klein ist, sprich k!(n-k)! möglichst klein wird.
Das ist genau dann der Fall, wenn k = n-k = Mitte des Dreiecks der Fall.
Beispiel:
n=6
k=3 maximum

3!*3! =(1*2*3) * (1*2*3)
Wenn man nun egal wohin in eine andere richtung wandert, verschwindet aus dem Nenner Der Faktor 3 und der Faktor 4 taucht dafür auf => Nenner größer => Zahl Kleiner

[mp67]

Man kann das Problem vielleicht etwas unelegant aber schnell erledigen, wenn man den Ausdruck für die "Anstiege" betrachtet:

(BK(n, k+1)-BK(n,k))/ (k+1 - k)=

n!(n-k)/(k+1)!/(n-k)! - n!(k+1)/(k+1)!/(n-k)!=

(n-(2k+1))n!/(k+1)!/(n-k)!

Dieser Ausdruck wechselt sein Vorzeichen von + nach -, wenn k>(n-1)/2 wird, d.h. in der "Mitte" des Pascalschen Dreiecks liegt ein Maximum vor. Spatzen, auf die mit Kanonen geschossen wurde, sind schliesslich auch tot...

M.