Fermi
22.02.2005, 14:03
So, wieder mal ein Problem beim Lernen für die FunkAna-Prüfung:
Um die Theorie der Hilberträume zu illustrieren, ist unser Prof auf die Hardyräume, speziell auf H^2(D) eingegangen. Dabei wurde eine Isometrie g: l_2(\mathbb{N}_0) \to L_2^+ (S^1) definiert, wobei
L_2^ + \left( {S^1 } \right): = \left\{ {f \in L_2 \left( {S^1 } \right)\left| {\hat f\left( k \right) = 0{\text{ f"ur }}k < 0} \right.} \right\},
wobei S^1 die kompakte Einheitssphäre S^1 = \left\{ {z \in \mathbb{C}\left| {\left| z \right| = 1} \right.} \right\} bezeichnet und \hat f (k) den k-ten Fourierkoeffizienten.
Mein erstes Problem: die Isometrie wurde definiert als
g\left( {x_k } \right)_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 0}^\infty {x_k e^{ikt} } ,
wobei (x_k) \in l_2(\mathbb{N}), also eine quadratsummierbare Folge ist. Ich verstehe nun nicht, warum diese Reihe denn überhaupt allgemein konvergieren soll-es gibt doch durchaus quadratsummierbare Folgen, die nicht summierbar sind. Wenn ich z.B. x_k = 1/(k+1) nehme, dann divergiert die obige Reihe doch, oder nicht? :confused: :confused:
Weiter wurde dann gesagt, dass dann die Fourierabbildung definiert ist als
\mathcal{F} \left( {x_k } \right)_{k = 0}^\infty = \sum\limits_{k = 0}^\infty {x_k z^k } ,\left| z \right| < 1
und dass diese Potenzreihe dann lokal gleichmäßig in der Kreisscheibe
D = \left\{ {z \in \mathbb{C}\left| {\left| z \right| < 1} \right.} \right\} konvergiert. (Aus der Funktionentheorie schließt man dann, dass die Funktion holomorph ist.)
Wieso liegt dann eine lokal gleichmäßige Konvergenz in der Kreisscheibe D vor? :confused:
Wieder ziemlich fortgeschritten das Ganze, ich weiß. :sad: Aber vielleicht kann mir wer weiterhelfen-möglich, dass es auch ganz einfach ist (sonst hätte er da ja irgendwie auch mehr zu sagen müssen), ich da aber ein Brett vorm Kopf habe. :confused:
Um die Theorie der Hilberträume zu illustrieren, ist unser Prof auf die Hardyräume, speziell auf H^2(D) eingegangen. Dabei wurde eine Isometrie g: l_2(\mathbb{N}_0) \to L_2^+ (S^1) definiert, wobei
L_2^ + \left( {S^1 } \right): = \left\{ {f \in L_2 \left( {S^1 } \right)\left| {\hat f\left( k \right) = 0{\text{ f"ur }}k < 0} \right.} \right\},
wobei S^1 die kompakte Einheitssphäre S^1 = \left\{ {z \in \mathbb{C}\left| {\left| z \right| = 1} \right.} \right\} bezeichnet und \hat f (k) den k-ten Fourierkoeffizienten.
Mein erstes Problem: die Isometrie wurde definiert als
g\left( {x_k } \right)_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 0}^\infty {x_k e^{ikt} } ,
wobei (x_k) \in l_2(\mathbb{N}), also eine quadratsummierbare Folge ist. Ich verstehe nun nicht, warum diese Reihe denn überhaupt allgemein konvergieren soll-es gibt doch durchaus quadratsummierbare Folgen, die nicht summierbar sind. Wenn ich z.B. x_k = 1/(k+1) nehme, dann divergiert die obige Reihe doch, oder nicht? :confused: :confused:
Weiter wurde dann gesagt, dass dann die Fourierabbildung definiert ist als
\mathcal{F} \left( {x_k } \right)_{k = 0}^\infty = \sum\limits_{k = 0}^\infty {x_k z^k } ,\left| z \right| < 1
und dass diese Potenzreihe dann lokal gleichmäßig in der Kreisscheibe
D = \left\{ {z \in \mathbb{C}\left| {\left| z \right| < 1} \right.} \right\} konvergiert. (Aus der Funktionentheorie schließt man dann, dass die Funktion holomorph ist.)
Wieso liegt dann eine lokal gleichmäßige Konvergenz in der Kreisscheibe D vor? :confused:
Wieder ziemlich fortgeschritten das Ganze, ich weiß. :sad: Aber vielleicht kann mir wer weiterhelfen-möglich, dass es auch ganz einfach ist (sonst hätte er da ja irgendwie auch mehr zu sagen müssen), ich da aber ein Brett vorm Kopf habe. :confused: