Konvergenzüberprüfung bei einer Reihe

[Neutron]

Folgende Reihe ist auf Konvergenz zu überprüfen:

\sum ^{ \infty }_{k=1} (\frac{1}{4 k^2})

Ich denke dass man sie irgendwie auf die (divergente) harmonische Reihe zurückführen kann, aber ich weiß nicht wie.

Irgendwelche Ideen?

[kleinerChemiker]

Das glaub ich weniger!


Wende doch einfach mal das Quotientenkriterium an!



lg, Peter!

[Neutron]

Ok, Quotientenkriterium:

a_k = \frac{1}{4k^2}
|\frac{a_{k+1}}{a_k}| = |\frac{1}{4(k+1)^2} \cdot \frac{4k^2}{1} | = |\frac{4k^2}{4(k+1)^2}| = \frac{k^2}{(k+1)^2} = (\frac{k}{k+1})^2 = (\frac{1}{1+\frac{1}{k}})^2 \rightarrow 1

Mist, beim Grenzwert 1 kann man keine Aussage über das Grenzverhalten machen... Irgendwas habe ich ungünstig oder falsch gemacht.

[Praetor]

\sum ^{ \infty }_{k=1} (\frac{1}{4 k^2})=\frac{1}{4} \sum ^{ \infty }_{k=1} (\frac{1}{k^2})
wobei die Reihe der 1/k^2 vermutlich bekannt ist (mit summe \pi / 90 )

[Neutron]

Kann man das auch mit dem Quotientenkriterium beweisen (wie ich es schon versucht habe)? Und kannst du zeigen dass die Reihe zu (1/k²) konvergiert?

[Praetor]

nein qk und wk bringen da leider nichts.
verdichtungssatz: Reihe konvergiert <=>
\displaystyle \sum ^{ \infty }_{k=1} (\frac{2^k}{4 (2^k)^2}) = \frac{1}{4} \displaystyle \sum ^{ \infty }_{k=1} (\frac{1}{2})^k => geometrische Reihe => konvergiert => ursprüngliche Reihe konvergiert auch.

[Neutron]

Danke :)

Allerdings ist das nicht das Ergebnis das ich wollte :D

Eigentlich will ich nämlich die Konvergenz dieser Reihe überprüfen:
\sum_{k=1}^{\infty}~ \frac{1}{k + \sqrt{k} +1}

Hab das mit dem Majorantenkriterium versucht:

|\frac{1}{k + \sqrt{k} +1}| \geq |\frac{1}{k + 2\sqrt{k} +1}| = \frac{1}{(\sqrt{k}+1)^2} \geq \frac{1}{(k+1)^2} \geq \frac{1}{(k+k)^2} = \frac{1}{4k^2}

Offensichtlich wird das so aber nichts...

[Praetor]

verwende 1 \le \sqrt{k} \le k !

[Neutron]

|\frac{1}{k + \sqrt{k} + 1}| \geq \frac {1}{3k}

\frac {1}{3k} divergiert ja (harmonische Reihe), daher ist also die gefragte Reihe auch divergent.

Tnx

[Praetor]

bingo :)

Lg, Praetor

[Seneca]

Hallo,

@praetor
\sum_{i=1}^{infty}{\frac{1}{4*i^2}} ist doch pi^2/6, oder.

mg
seneca

[kleinerChemiker]

Und wie kommt man eigentlich auf diese Grenzwerte von Reihen? Die meisten enthalten ja pi, nur wie kommt man drauf?



lg, Peter!

[Praetor]

@ seneca: klassischer wissensfehlgriff *g*
aber auch du liegst noch knapp daneben: pi^2/24 ist der korrekte Wert

grenzwertfindung: würde den rahmen sprengen, die beweise funktionieren zwar alle unterschiedlich, aber doch nach dem selben schema- werden aber immer aufwändiger für höhere Exponenten im Nenner.
Meines Wissens war es Riemann, der die Methodik entdeckt hat.
Die einschlägige Literatur sei empfohlen :)

[kleinerChemiker]

Für die Reihe mit den Gliedern 1/(4k²) ist mir gerade ein Beweis eingefallen! Das Integralkriterium:

\sum_{k=1}^ \infty ~ 1/(4k2 ) < \int_{1}^{ \infty }~ 1/(4k2 )~dk = 1/4 (konv.)


Also muss auch die Reihe konvergent sein!



lg, Peter!

[Seneca]

@Praetor, klassischer Fall von Ungenauigkeit (ich hab die Summe schon so oft getippt..).
Auf die Grenzwerte kam schon Euler.

mfg
seneca