Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Komplexe Zahlen
nobody
23.10.2001, 09:45
Folgende Aufgabe kann ich mir nicht ganz erklären:
Zu bestimmen ist die Lösung der komplexen Gleichung:
z2 = (4-3i)z - (1-5i)
Die Lösung ist in der kartesischen Form anzugeben!
Falls jemand die Aufgabe löst, dann bitte so ausführlich wie nur möglich, d.h. jeder einzelne Schritt mit der Begründung Wieso? Weshalb? Warum?
nobody
23.10.2001, 12:19
Hallo Marcel,
ich würde die Gleichung lösen wie jede andere quadratische Gleichung auch:
Erst mal alles auf eine Seite bringen: z2 - (4-3i)z + 1-5i = 0
Und dann lösen mit z = -p/2 <font class="serif">±</font> <font class="serif">√</font> (p2/4 - q) wobei p=4-3i und q=1-5i. Das ganze zusammengefasst ergibt z = 2-1,5i <font class="serif">±</font> <font class="serif">√</font>(0,75-i)
Die Lösung der Wurzel ist 1-0,5i, so daß Deine beiden Lösungen sind:
z1 = 2-1,5i + 1-0,5i = 3-2i
z2 = 2-1,5i - 1+0,5i = 1- i
Galileo
23.10.2001, 13:15
@ grosserbauer:
Jetzt bist Du mir mit der Lösung doch tatsächlich zuvorgekommen.
Aber ich krieg die gleichen Ergebnisse raus.
nobody
23.10.2001, 14:45
Aber ich krieg die gleichen Ergebnisse raus.
Freut mich zu hören.:D War meine Mathe-Vorlesung doch nich ganz umsonst:read:
buba
26.10.2001, 17:00
Ich habe schon lange nichts mit komplexen Zahlen gerechnet. Wie kommt man, nochmal, auf
den Ausdruck unter der Wurzel in die trigonometrische bzw. die exponentielle
Darstellung überführen: für z= a + ib gilt:
z= r *(cos <font class="serif">φ</font>+i sin <font class="serif">φ</font>) = r * ei<font class="serif">φ</font> wobei r=√<span style="text-decoration:overline">a²+b²</span> und tan <font class="serif">φ</font> = b/a
In diesen Formen nun die Wurzel berechnen mit
√<span style="text-decoration:overline">z</span> = √<span style="text-decoration:overline">r</span> *(cos [{<font class="serif">φ</font>+2k<font class="serif">π</font>}/2] + i sin [{<font class="serif">φ</font>+2k<font class="serif">π</font>}/2]) = √<span style="text-decoration:overline">r</span> *
ei (<font class="serif">φ</font>+2k<font class="serif">π</font>),
für k dann 0 und 1 einsetzen. Danach die beiden Lösungen wieder in die
algebraische Form umwandeln: a=r * cos <font class="serif">φ</font>, b=r * sin <font class="serif">φ</font>.