Grenzwert einer rekursiv definierten Folge?

[DonCarlos]

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge

a_n := \sqrt{2a_{n-1}-1} mit a_1 > 1.
Ich konnte relativ einfach zeigen, dass die Folge (streng) monoton
fallend und nach unten (durch 1) beschränkt ist. Demnach konvergiert
die Folge. Offenbar ist 1 der Grenzwert. Doch ist mir bisher nicht
gelungen, dieses nachzuweisen. Wer weiß Rat?

[upsidedown]

Einfach den Fixpunkt ausrechnen: a_{n-1} = a_n = a^* einsetzen und umstellen.

[DonCarlos]

Danke für die Antwort.

Aber was ist die Begründung für die Richtigkeit des ``Einsetzens''?
Vielleicht wegen des Cauchy-Kriteriums, d. h. die Folgenglieder weichen untereinander beliebig wenig ab, falls nur der Index genügend hoch ist, deshalb ``darf'' man sie bei einem hohen Index gleichsetzen?

Das ``darf'' hätte ich gerne noch etwas präzisiert.

[upsidedown]

Wenn dus unbedingt hochwissenschaftlich hören möchtest: Banachscher Fixpunktsatz.

Aber eigentlich ist das ziemlich offensichtlich, dass für alle Punkte gegen die die Folge konvergiert gelten muss...