Wer kennt da eine Website wo das gut erklärt ist (mit Skizzen, Beispielen usw.)?
Hab schon in google gesucht, aber nichts mir verständliches gefunden...
kat1
17.01.2005, 08:53
Nun das ist einfach eine lineare Koordinatentransformation, siehe auch hier
Wenn auf der rechten Seite echt (x',y') steht sieht das ganze wie eine gewöhnliche Differentialgleichung aus und das ganze als Ableitung. Aber das ist bestimmt nicht gemeint.
Zur linearen Transformation:
Sei A eine Matrix mit reellen Zahlen a_{ij}, x eine reelle Zahl und v=(v_1,v_2,v_3) ein Vektor :
So nun zu den Drehungen. Du hast einen Punkt im Raum gegeben mit P=(x,y) <-- 2-Dimensional bzw. P=(x,y,z). Diesen Punkt P interpretiert man als Vektor. (wie v oben)
Wenn man nun eine Matrix A gegeben hat kann man mit dem Punkt P eine Menge anstellen.
Beispiel im zweidimensionalen.
sei:
A =
\left(
\begin{array}{cccc}
2 && 0 \\
0 && 2 \\
\end{array}
\right)
-->
A * P = A * (x,y) =
\left(
\begin{array}{cccc}
2*x \\
2*y \\
\end{array}
\right)
--> Das heißt, der Vektor wird mit der Matrix A einfach "verdoppelt"
Nun zu den Drehmatrizen: w sei der Winkel!
- Im 2D-Raum:
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
+cos w && +sin w \\
-sin w && +cos w \\
\end{array}
\right)
- Im 3D-Raum:
-> Drehung um die X-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
1 && 0 && 0 \\
0 && +cos w && +sin w \\
0 && -sin w && +cos w \\
\end{array}
\right)
-> Drehung um die Y-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
+cos w && 0 && -sin w \\
0 && 1 && 0 \\
+sin w && 0 && +cos w \\
\end{array}
\right)
-> Drehung um die Z-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
+cos w && +sin w && 0 \\
-sin w && +cos w && 0 \\
0 && 0 && 1 \\
\end{array}
\right)
-> Drehung um eine beliebige Achse g=(gx,gy,gz) mit ||g||=1
Was zu tun verbleibt, ist einfach D*P zu rechnen, für alle zu drehenden Punkte. Bei der letzten Drehmatrix muss unbedingt die Drehachse normiert werden. (siehe Vorraussetzung)
PS: Man kann zwar auch aus den 3 Drehungen jede Drehung im 3D erzeugen, jedoch kommt man mit der letzten Drehmatrix am schnellsten und besten vorwärts!
Bapf
18.01.2005, 04:08
Hallo,
ich mal 8 Mathematikbücher hier, wo etwas wie "Mathematik für Ingenieure" drauf steht, jedoch ist in keinem das Verfahren beschrieben wie eine Lineare Abbildung, bzw. eine Drehmatrix gebildet wird beschrieben.
Wer kann mir das mal hier darstellen ?
Meine Aufgabe lautet:
Ist die Matrix a = \( \array{cos \alpha & -sin \alpha \\sin \alpha & cos \alpha \\ } \)
Was bedeutet dies für die lineare Abbildung?
\( \array{x \\ y \\} \) = A \( \array{x' \\ y' \\} \)
Machen Sie eine Zeichnung!
Wie lauten x' und y' in Abhängigkeit von x und y?
kat1
18.01.2005, 07:46
Dir war doch eigentlich von Pomplito gut geholfen worden, Du brauchst auch nicht extra einen neuen Thread aufmachen.
--> Threads zusammengeführt. Hier gehts weiter mit der Diskussion.
Zu Deiner speziellen Matrix, berechne doch einfach mal, die Koordinatentransformation, also führ die Matrixmultiplikation aus und schreib alles in zwei Zeilen hin, dann siehst Du was passiert. ;)
Rosentod
18.01.2005, 11:42
-> Drehung um eine beliebige Achse g=(gx,gy,gz) mit ||g||=1
Nur zur Ergänzung: Drehungen so darzustellen ist etwas unhandlich. Einfacher ist es, mit Eulerwinkeln (http://theorie2.physik.uni-erlangen.de/lectures/mechanik_ws04_05/08-11-04.Eulerwinkel.pdf) zu rechnen.
Pomplito
18.01.2005, 13:29
Rosentod, das mag mathematisch zwar richtig sein, aber es gibt praktische Anwendungen, wo die Drehung so besser funktioniert.
Beispiel:
Du hast ein zu simulierendes 3D-Weltsystem und ein Flugobjekt. Dieses Flutgobjekt hat einen Ortsvektor bezüglich des Weltsystems und ein eigenes lokales 3D-System, was angibt, in welche Richtung das Flugobjekt fliegt, dazu ist ein Tripel von 3 Vektoren nötig, der erste die Richtung das Obnjekt fliegt (lokale Z-Achse), der zweite die Richtung die die "Decke" des Objektes angibt (lokale Y-Achse) und der dritte die Richtung, die die "rechte" Seite des Objektes (lokale X-Achse) angibt, halt ein lin. unabhängiges kanonisches System. Damit ist es eindeutig beschrieben. Das Objekt soll sich nun selbst unabhängig um jede der 3 "lokalen" Achsen drehen können. Da die lokalen Achsen aber bezüglich des Weltsystems interpretiert werden ist das ganze ziemlich kompliziert die 3 Drehungen hintereinander auszuführen, da sich die Drehungen gegenseitig beeinflussen. Ich behaupte sogar mal, das ist unmöglich. Die Drehung um 45° um die X-Achse, dann um 45° um die Y-Achse liefert etwas anderes, als die Drehung um 45° um die Y-Achse und danach um 45° um die X-Achse.
Und da das ganze noch so effizient wie möglich berechnet werden soll, gibt es meiner Meinung nach kein einfacheres Verfahren...
Rosentod
18.01.2005, 13:44
- Im 3D-Raum:
-> Drehung um die X-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
1 && 0 && 0 \\
0 && +cos w && +sin w \\
0 && -sin w && +cos w \\
\end{array}
\right)
-> Drehung um die Y-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
+cos w && 0 && -sin w \\
0 && 1 && 0 \\
+sin w && 0 && +cos w \\
\end{array}
\right)
-> Drehung um die Z-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
+cos w && +sin w && 0 \\
-sin w && +cos w && 0 \\
0 && 0 && 1 \\
\end{array}
\right)
Nun ja, bei dem von dir angeführten Beispiel würde ich bei Handrechnung vermutlich diese Drehmatrizen in der richtigen Reihenfolge anwenden.
Ich wollte auch nicht sagen, dass die Rechnung mit Eulerwinkeln in jeder Situation die beste Wahl ist. Ich habe allerdings festgestellt, dass dieses Verfahren leichter zu verstehen und herzuleiten ist. Und da der Fragesteller ja Schwierigkeiten in dieser Hinsicht zu haben scheint ...
search
23.07.2010, 18:52
-> Drehung um die Z-Achse
D =
\left(
\begin{array}{cccc}
+cos w && +sin w && 0 \\
-sin w && +cos w && 0 \\
0 && 0 && 1 \\
\end{array}
\right)
Wenn ich irgendeine beliebige Matrix aufstellen möchte, die um 45° um die z-Achse gedreht wurde, muss ich dann einfach nur 45° in diese Matrix einsetzen?