Iterationen + MNU22

[nobody]

Hallo, kann mir jemand erklären, warum die Folge
x_(x+1)= (2/x-1) + 1
nicht konvergiert?
zweite Frage:
Wo bekommt man das Heft MNU 22, wenn das jemand wüsste wäre ich sehr dankbar.
Danke, Martin

[Rosentod]

Hallo, kann mir jemand erklären, warum die Folge
x_(x+1)= (2/x-1) + 1
nicht konvergiert? Die Schreibweise ist so ungewöhnlich, dass ich sie nicht verstehe. Folge und Laufvariable sollten verschiedene Buchstaben haben.

[nobody]

naja es ist halt so, dass
x(vom nächsten schritt)= 2/(x(dieses Schrittes) -1) +1
Startwert ist beliebig, graphisch ist das ganze auch anschaulich, weil die iteration im Kreis läuft, aber vom Mathematischen her verstehe ich das ganze ned

[Praetor]

berechne einmal die fixpunkt dieser rekursiven folge.
was schliesst du daraus?

[nobody]

naja da ist ja die Umkehrfunktion gleich der Funktion(geht man von den Hyperbeln aus). Daraus ergibt sich, 1 = 1, das heisst dann wohl, dass x beliebig ist und es unendlich viele Fixpunkte gibt. Dann kann die Funktion nicht Konvergieren, weil es unendlich viele Fixpunkte gibt?

[Praetor]

hm nein. fixpunkt berechnung durch
x=\frac{2}{x-1}+1
das gibt dann 2 Lösungen.
Es folgt, dass die Folge sehr wohl konvergieren kann.
Das hängt vom Startpunkt ab. Wenn man in einem der beiden
Fixpunkte startet, konvergiert die Folge auf jeden Fall.
Was ist dein Startwert?

[nobody]

als Startwert hatte ich 4,
die Fixpunkte wären (4+wurzel(8))/2 v (4-wurzel(8))/2 ,
die Iteration konvergiert auch nicht, wenn ich den Fixpunkt als Startwert nehme konvergiert da ganze trotzdem nicht....

[Praetor]

doch. weil wenn du den Fixpunkt einsetzt kommt als nächster Punkt wieder genau das selbe heraus, nämlich der Fixpunkt. Die Folge wird auch für 4 als Startwert konvergieren.
Schlussfolgerung: wir reden aneinander vorbei und du hast eine andere folge als ich: Ist das hier deine Folge:
a_{n+1}=\frac{2}{a_n-1}+1,a_0=4

[nobody]

Also: wir haben die gleiche Folge, mit dem Fixpunkt hast du natürlich recht, es kommt der selbe Wert wieder raus, da habe ich mich verrechnet. Für STartwert x_0 = 4 erhalte ich folgende Werte:
1te Iteration: x=1.6666666666666665
2te Iteration: x=4.000000000000001
3te Iteration: x=1.6666666666666665
4te Iteration: x=4.000000000000001
5te Iteration: x=1.6666666666666665
6te Iteration: x=4.000000000000001
Das Konvergiert doch also nicht, oder täusche ich mich?
+ Warum kommt eigentlich, wenn man einen Fixpunkt einsetzt er selbst raus, gib es da einen mathematischen Beweis dafür?

[Praetor]

habe nur grob reingeschaut, hast natürlich recht. konvergiert nicht.
zu deinen fragen:
Fixpunkt ist ja so definiert, dass x=f(x). daher folgt deine "Feststellung" direkt aus der Definition.

Beweis, dass es nicht konvergiert:
zeige: a_{n+2}=a_n, so a_0=4
(das kannst du selbst :), vergiss nur nicht es auch von a_1 aus zu zeigen )
daraus folgt:
Folge kann dargestellt werden als:
(a_n)={a_0,a_1,a_0,a_1,...}, mit a_0 != a_1
also nicht konvergent.

[nobody]

Noch eine Frage: Wieso konvergiert eine Iteration, bei der der Betrag der Ableitung am Schnittpunkt mit g > 1 ist nicht?

[Praetor]

könntest du diese Aussage bitte formal hinschreiben.
Was ist g?
Was wird abgeleitet?
Wo wird eingesetzt?

[nobody]

mal versuchen:
Behauptung:
Eine Iteration(f(x), g(x)=x) konvergiert, wenn in einer Umgebung der Schnittstelle von f und g f^'(x)< 1 ist, oder wenn dies für die Umkehrfunktion f_umkehr und g gilt.

[Praetor]

g(x) ist also die identische Abbildung und f(x) eine beliebige Iterationsvorschrift?

[nobody]

g(x) ist die gerade y=x

[Praetor]

f'(x) gibt ja die Schrittweite an, die von diesem Punkt aus zurückgelegt wird. ist sie im um den Fixpunkt (das ist der Schnittpunkt von f,g) <1 was folgt dann für die nächsten n Schritte bei n -> unendlich
?

[nobody]

Die Ableitung müsste sich immer mehr gegen 0 bewegen, weil die Schrittweite immer mehr abnimmt, bis sie schließlich 0 ist. Wenn also f'>1 nimmt die Schrittweite nicht ab, sondern bleibt konstant?

[upsidedown]

Ne, völlig falscher Dampfer ;)

Guck dir den Banachschen Fixpunktsatz mal an.

[nobody]

gehen wir mal von der vorherigen Iteration(weiter oben in diesem Thread aus), so ist nach Bannach diese Iteration nicht kontraktiv, daher sollte es keinen FIxpunkt geben, gegen den die Iteration konvergieren kann. Was das ganze allerdings mit f' < 1 zu tun hat verstehe ich immer noch nicht. Ist f' vielleicht die Variable c in F(x)-F(y) <= c*(x-y),c < 1.

[upsidedown]

Nein - es geht um diese Iterationsvorschrift:
x_{n+1} = f(x_n)

Und um die Ableitung am Fixpunkt x^*, der durch
x^* = f(x^*)
gegeben ist geht es: f'(x^*)

Warum das was mit der Konvergenz zu tun hat macht man sich am besten graphisch klar.

[nobody]

naja f'(x*) = -1, d.h. senkrecht zu g = x, wenn praetor sagt, f' ist die schrittweite, wieso ist das so? wenn die Schrittweite -1 ist, kann das ja gar nicht konvergieren, negative schritte gibt es nicht, oder?