ich versuche gerade eine matheaufgabe zu lösen, was mir leider nicht gelingt. vielleicht könnt ihr mir ja ein wenig helfen. also die aufgaben stellung lautet folgendermassen:
berechnen sie den grenzwert von f(x)=x^4/{(1-x^2)*(sqrt[1+2x^2])-1} für x->0
als hilfe ist angegeben, dass man das taylorpolynom von sqrt[1+2x^2] berechnen soll. das war nicht so schwer, aber was hilft mir das dann weiter? wenn ich es wieder in die anfangsgleichung einsetze, erhalte ich trotzdem wieder 0/0...
vielen dank bereits jetzt!
analeptika
Praetor
30.12.2004, 22:46
Ist nicht ganz trivial, habe eine HTML-Datei dazu erstellt,
siehe gezipptes Archiv im Anhang.
Falls noch weitere Fragen offen sind, nur zu.
Edit: die letzte Schlussfolgerung fehlt in der Datei, sie lautet natürlich f(x) -> -2/3 für x->0
weiters ist bei der letzten Darstellung zwischen -3/2 und x ein Minus zu setzen.
analeptika
31.12.2004, 00:56
vielen dank praetor!
dann bin ich froh, wenn du es auch nicht ganz so trivial findest.
also deine vorgehensweise habe ich so mehr oder weniger begriffen. eigentlich habe ich aber gehofft, das mal ohne mathematica lösen zu können. gibt es da keine 'einfachere' lösung?
was mir auch nicht ganz klar ist: warum klammerst du gerade 1/256 aus und wo bleibt das x^2?
und das war einfach eine vertauschung, f(x) strebt schon nach -3/2?
analeptika
31.12.2004, 03:07
ich bin es nochmals. also ich habe die aufgabe so mehr oder weniger gelöst, es ist wohl mathematisch nicht sehr hochstehend, aber der grenzwert sollte stimmen.
also ich habe zuerst dieses taylorpolynom ausgerechnet bis zur 3. ordnung. dieses wieder in die formel eingesetzt und mit (1-x^2) ausmultipliziert. danach mit x^4 gekürzt. das ergab dann:
-3/2+x^2-1/2x^4
wenn man nun x=0 einsetzt, ergibt das einen grenzwert von -3/2. ist das korrekt?
Praetor
31.12.2004, 11:41
ja, das taylorpolynom 3.Ordnung sollte hinreichend genau sein.
ob du das allerdings beweisen musst oder auch nicht ist wohl geschmackssache. du solltest dir halt überlegen _wieso_ eine höhere Ordnung keinen anderen Grenzwert ergibt.
knackpunkt ist das kürzen mit x^4 damit man einsetzen kann (sprich, der nenner nicht 0 wird)
der grenzwert sollte auf jeden fall stimmen. f(x) -> -2/3
weil wir rechnen ja die ganze zeit im nenner herum. d.h. wir müssen abschliessend noch kehrwert bilden!
natürlich gehts auch ohne mathematica, aber nachdem ich zu faul bin
alles per hand auszurechnen habe ich es mir für die zwischenschritte geborgt ;)
P.S. die Leibnitz-Argumentation in meinem Blatt ist natürlich Schwachsinn - die Koeffizientenfolge geht ja wohl nicht gegen 0. Ein klassischer Fehler ... :(
aber für alle Taylorpolynome endlicher Ordnung funktionierts trotzdem.
256 -> willkürlich gewählt, damit alle Koeffizienten Ganzzahlig werden.
x^2 -> Das Eliminiert sich selbst probiers doch aus: (1-x^2)(1+x^2) = ?
später kommts auf keinen fall vor. und hier auch nicht, wie du sehen wirst :)
Lg, Praetor
analeptika
31.12.2004, 14:15
stimmt,das mit dem grenzwert = -2/3 ist logisch...
die höheren ordnungen spielen keine rolle, weil sie die ersten ordnungen nicht beeinflussen, stimmt das?
dann ist die gesamte aufgabe aber ein wenig konstruiert, dass man das ganze am schluss so bequem mit x^4 wegkürzen kann. wenn jetzt irgendwie x^3 im zähler gestanden hätte, wäre es nicht gegangen.
mfg analeptika
Praetor
31.12.2004, 15:31
natürlich ist die aufgabe konstruiert. wie übrigens die meisten ;)
stimmt so, dass dem auch immer so ist könnte man z.b. induktiv zeigen. (argumentation ist so oder so in kurzform "rest wird ja eh null")