Ebene mit Abstand 2 von gegebener Ebene

[Zeitungsente]

Gegeben ist eine Ebene E. Bestimme Gleichungen aller Ebenen, die von der Ebene E den Abstand 2 haben.

(ich unterstreiche Vektoren)

E: x1 + 2x2 - 2x3 =3

Überlegung: Bestimme den Abstand von E zum Ursprung, dann Ebenen, die um 2 Längeneinheiten weiter bzw. näher am Ursprung liegen.

1.Normalenform der Ebene:
(1/2/-2) * x - 3 = 0
2. Hessesche Normalenform der Ebene:
InI (Betrag von n) = 3
1/In I * I(n) * x - dI = 0
1/3 I(1/2/-2) * x - 3I = 0
3.Abstand der Ebene zum Ursprung
d0 ist der Abstand der Ebene vom Ursprung
d0 = d/InI = 1

Die Ebenen, die von E den Abstand 2 haben müssen also die Abstände d0 = 3 und d0 = -1 haben.

wäre für E1 d = 9 und somit
E1 : 1/3 I(1/2/-2) * x - 9I = 0
oder muss ich den Abstand "direkt in die ursprüngliche Gleichung eintragen" ?
also
1/3 I(1/2/-2) * x - 5I = 0 (5, weil in der gegebenen Ebene d = 3)

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte ! MfG, Kim

[dave]

Es geht wesentlich einfacher:

Zu deiner eben gibt es genau zwei ebenen, die den Abstand zwei haben. Diese müssen sinnvollerweise paralell zur ursprungsebene sein, was bedeutet, dass dei Normalenvektoren gleich sind.
Jetzt brauchst nur noch von beiden Ebenen einen beliebigen punkt und du kannst die parameterfreie Form aufstellen, dazu nimmst du einen beliebigen Punkt der Ursprungebene z.B. (3,0,0) und addierst bzw. subtrahierst das doppelte des Einheitsnormalenvektors: (1/3,2/3,-2/3) und schon hast du die gesuchten Punkte und damit die gesuchten Ebenen