Brauche dringend Hilfe bei einem Beispiel, komm da einfach nicht weiter! Eine Studentin hat das zwar heute in Mathe vorgerechnet, doch erstens konnte ich ihre Schrift nicht lesen und zweitens schein ich das auch nicht zu verstehen!
Das einzige, was ich weiß ist, dass sie es mit dem Quotientenkriterium gelöst hat!
Die Potenzreihe lautet:
Summe[(-1)^k*x^2k/2^k] für k = 1 bis unendlich
Zuerst muss man doch diese Potenzreihe auf eine lückenfreie Form bringen, richtig? Doch da beginnen bei mir schon irgendwie die Probleme! Entweder ich hab grad ein Brett vorm Kopf, oder ich bin wirklich so dumm und kann das nicht!
Bitte helft mir!!
lg, Peter!
PS: Als Ergebniss müsste dann Wurzel(2) herauskommen!
Paleiko
18.12.2004, 01:02
Hi!
Zum Thema lückenfrei kann ich nichts sagen, aber zum Quotientenkriterium:
|ak+1/ak| <1
Du teilst mit dieser Formel quasi zwei aufeinanderfolgende Teilsummen durcheinander, wenn das vom Betrag her kleiner als Eins ist, weisst du, dass deine Summentherme immer kleiner werden => Konvergenz
Wichtig ist nur, das du das k+1 für k einsetzt und nicht einfach hinter jedes k ein +1 schreibst:
|((-1)k+1 *k2(k+1)*2-(k+1))/((-1)k*x2k*2-k )| <1
Viel Erfolg!
Sven
kleinerChemiker
18.12.2004, 05:45
Ja, das war mir bekannt! Hätte das ja auch so probiert, nur kam dann da bei mir als Konvergenzradius R = 2 raus, was aber laut Lösung (R = Wurzel(2)), nicht korrekt ist!
Dann hab ich heute gelesen, dass sich das Quotientenkriterium nur auf Lückenlose Potenzreihen anwenden lässt bzw. man es nur da anwenden darf und somit die Potenzreihe zuerst auf eine lückenlose Potenzreihe überführen muss, wenn es nicht eh schon eine ist!
Tjo, ... :confused:
Wenn vielleicht jemand weiß, wie das geht, das wäre echt spitze! :)
lg, Peter!
Paleiko
18.12.2004, 18:54
hi!!
2 kommt nur raus, wenn du den von mir angegebenen Fehler machst und statt k+1 EINZUSETZEN lediglich hinter jedes k ein +1 schreibst:
Falsch:
|(-1)k+1 *x2k+1 *2k /2k+1 *(-1)k *x2k |<1
=|-x/2|<1 = |x|<2 => Konvergenzradius 2
Richtig:
|(-1)k+1 *x2(k+1)*2k /2(k+1) *(-1)k *x2k |<1
=|-x2/2|<1 =|x|<2 => Konvergenzradius 2
Erklärung: Es ist ein Unterschied, ob man z.B. in 2n den Wert "n+1" einsetzt, oder ob man einfach 2n+1 rechnet. Für einfache Zahlen wird das klarer: Wenn die "Formel" 2n lautet und man n=3 und n=3+1=4 vergleichen will (nichts anderes macht man ja beim Quotientenkriterium!), dann kommt einmal 6 und einmal 8 heraus. Schreibt man lediglich 2n+1 statt 2(n+1) (->einsetzen!) kommt man auf 7!!
bis denn
Sven
kleinerChemiker
20.12.2004, 13:07
Hoppala, Du hast mir ja inzwischen wieder geschrieben, hab ich ganz übersehen, sorry!
Also, kann schon nachvollziehen, was Du getan hast und wie Du auf das richtige Ergebnis kommst!
Ist ja auch ganz leicht, auf diese Art!
In Mathe haben wir es so gelernt, dass man die Variable beim Quotientenkriterium nicht mithineinnimmt, sondern gleich nur den Quotienten aus den Koeffizienten bildet, womit dann eben als zusätzliche Bedingung zu beachten ist, dass die Reihe lückenlos ist!
Aber so geht es natürlich auch, da braucht man dann wenigstens nicht auf die lückenlose Form achten!
Also werd ichs wohl in Zukunft immer so machen!
Obwohls mich auch interessieren würde, wie es denn anders geht!