lineare Algebra: Exponentialmatrizen

[braindead]

Hi habe habe follgende Aufgabe zu lösen:

Für reelle Zahlen x und y betrachten wir die beiden Exponentialmatrizen


C:= exp (0 x) (das soll eine Matrix sein)
.............(x 0)

D:= exp (0 -y) = (cos y -sin y)
.............(y 0)....(sin y cos y)


(a) Man berechne die Matrix C. Hierfür benötigen wir die sogenannten Hyperbelfunktionen

cosh x := ( ex + e-x ) / 2 = 1 + x² / 2! + x4 / 4! + x6 / 6! + ...,

sinh x := ( ex - e-x ) / 2 = x1 / 1! + x3 / 3! + (x5) / 5! + ...,

(b) Man überprüfe, ob für alle x,y element R die Kommutator-Beziehung
[C,D] = 0
gilt, wobei 0 die Nullmatrix bedeutet. Eine stichhaltige Begründung ist zu geben.

erlich gesagt kann ich damit nicht viel anfangen, vieleicht kann mir jemand helfen überhaupt erstmal einen ansatz zu finden wie ich diese aufgabe lösen kann?

[upsidedown]

Hilft das weiter?
http://mathworld.wolfram.com/MatrixExponential.html

[braindead]

hmm also ich habe es mal so versucht
für den Teil (a):

exp (A) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} A^k/k!


A:=
\left(
\begin{array}
0 & x \\
x & 0 \\
\end{array}
\right) ,
A^0:=
\left(
\begin{array}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
= E_2


A1 = A, A² = x² E2, A³ = x² A,
allgemein:
A2n = (x²)n E2 = x2n \left(
\begin{array}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) &

A2n+1 = A2n A1 = x2n A = x2n+1 \left(
\begin{array}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)

==> exp(A) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} A^{2n}/(2n)! + \sum_{n=0}^{\infty} A^{2n+1}/(2n+1)!
hier allerdings komme ich nicht weiter hier muss ich sicher den bezug zu den Hyperbelfunktionen finden aber ich finde ihn nicht

[kat1]

Dann schau Dir doch einfach mal die Taylor-Entwicklungen der Hyperbelfunktionen an, fällt Dir da wirklich nichts auf ;)

[braindead]

Hmm ich bin mir nicht sicher was genau mit dieser Tylor-Entwicklung gemeint ist (ich habe zwar schon etwas davon gehört aber direkt hatte ich damit noch nichts zutun).

Ich habe aber mal in die gegebene Hyperbelfunktion für cosh x die exponentialfunktionen ersetzt durch ihre Summenform und wenn ich es nicht falsch umgestellt habe dann habe ich für cosh x die Summenform der Cosinus Funktion erhalten und ich vermute ich würde die Sinus funktion nach umstellen aus der sinh x Formel erhalten.

allerdings weis ich nicht:
1.) ob ich das richtig gemacht habe.
2.) ob das überhaupt sinn macht
denn ich kann damit noch immer nichts anfangen

[braindead]

also das was ich das über die cosh und sinh funktionen gesagt habe das ich die nach sin bzw. cos umgestellt habe ist natürlich quatsch, ich bin zwar noch nicht viel weiter aber ich wollte das nur noch schnell richtigstellen

doch, ok ich habs .... juhuu
jedenfalls den (a) teil jetzt brauchte ich nur noch einen kleinen Hinweis für den (b)-Teil das wäre echt super

[upsidedown]

[C,D] ist symbolisch für
\[C,D\] \equiv C \cdot D - D \cdot C

Und dass das die Nullmatrix ergibt (in anderen Worten: Es gilt für diesen Fall ein Kommutativgesetz) soll halt bewiesen werden.

[braindead]

danke für die Hilfe war echt nett von euch.

Ich habe die (b) Aufgabe mal gelöst und ich erhalte

als ergebnis matrix für [C,D]

\left\begin{array}2sinh(x)sin(y) & 0 \\ 0 & -2sinh(x)sin(y) \\ \end{array} \right

und das wird nur dann zur Nullmatrix wenn x,y = k2phi sind, wobei k element der Ganzen Zahlen und für x und y jeweils unterschielich sein kann.
Weil nur dann der sinus 0 wird und damit die Matrix zur nullmatrix macht.

Ihr müsst nicht unbedingt antworten wenn es richtig ist was ich hier geschrieben habe, ich wollte es nur noch der Vollständigkeit halber ergänzen

Obwohl, mir flällt gerade auf das der Sinus Hyperbolicus (oder wie der heist) gar nicht für y = 2kphi null wird,
also für y = 0 wird er auch 0 aber ansonnsten nicht mehr oder ?
wenn das stimmt dann darf natürlich nur x= 2kphi sein und y = 0 oder ?