vektorprodukt

[01Detlef]

hallo,

das vektorielle produkt aus a=(a1;a2;a3) und b = (1;2;b3) ergebe c=(5;-3;1) und a,b sollen alpha=arcsin(35/6) einschließen!

weiss nicht wie ich das lösen kann, ist das nicht unterbestimmt?

detlef

[upsidedown]

Nö, du kriegst drei Gleichungen aus dem Vektorprodukt, und eine aus der Winkelbeziehung. Und du hast vier Unbekannte. Passt bis dahin alles ;)

[01Detlef]

wie sehen die gleichungen denn aus? stehe irgendwie auf dem schlauch!

detlef

[buba]

\mathrm \( \array{a_1\\a_2\\a_3} \) x \( \array{1\\2\\b_3} \) = \( \array{a_2b_3-2a_3\\a_3-a_1b_3\\2a_1-a_2} \) = \( \array{5\\-3\\1} \)

Drei Gleichungen.

\mathrm \frac{\( \array{a_1\\a_2\\a_3} \)\ \circ\ \( \array{1\\2\\b_3} \)}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\ \sqrt{1^1+2^2+b_3^2}} = cos\(arcsin\(\frac{\sqrt{35}}{6}\)\) = \sqrt{1-\(\frac{\sqrt{35}}{6}\)^2} = \frac{1}{6}

Eine Gleichung.

[01Detlef]

hmm ehrlich gesagt, weiss ich nicht, wie ich diese gleichungen jetzt lösen kann? also mit einer determinate bekomme ich das nicht hin!

detlef

[Borbarad]

Moin Detlef,
Versuchs mal so:
Erst mal beschäftigst du dich nur mit dem Gleichungssystem, welches aus dem Vektorprodukt folgt:
I. a2*b3 - 2a3 = 5
II. a3 - a1*b3 = -3
III. 2a1-a2 = 1
Ich empfehle, I. und II. nach a3 umzustellen und anschließend das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden. wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste dann herauskommen
b3 = 1.
Dies kann man dann wieder rückeinsetzen, womit folgt
a3 = a1 - 3.
Gleichung III. nach a2 umgestellt ergibt
a2 = 2a1 - 1.
Diese Ergebnisse verwendet man in der "Winkelgleichung":
(a1+2a2+a3*b3)/(Sqr(a1²+a2²+a3²)*Sqr(1+4+b3²)) = 1/6
<=> (a1+2a2+a3)/(Sqr(a1²+a2²+a3²)*Sqr(6)) = 1/6
<=> (6a1-5)/Sqr(36a1²-60a1+60) = 1/6
<=> 6a1-5 = Sqr(a1²-(5/3)a1+5/3) :eek:
=> 36a1²-60a1+25 = a1²-(5/3)a1+5/3
<=> 35a1²-(175/3)a1+(70/3) = 0
<=> a1²-(5/3)a1+2/3 = 0
<=> a1 = 1 v a1 = 2/3
ACHTUNG!!: a1 = 2/3 ist keine Lösung, da es der mit :eek: markierten Gleichung widerspricht.
Also ist
a1 = 1; a2 = 1; a3 = -2; b3 = 1
einzige Lösung. Ufff... viel Spass beim Kontrollieren ;)