braindead
02.12.2004, 17:52
Hallo
Ich habe 2 Folgen gegeben deren Supremum und Infimum zu bestimmen sind, jedenfalls habe ich Probleme die Beweise nachzuvollziehen:
1.)
X = {x + (1/x) | (1/2) < x <= 2}
Im Beweis steht:
Für (1/2) < x <= 2 gilt x + (1/x) >= 2
Und hier gehts schon los:
-Also mir ist klar das der Term nicht kleiner als 2 wird im gegebenen Wertebereich
aber das kann doch hier nicht der Grund für die Behauptung:
x + (1/x) >= 2 gewesen sein, oder ?
ich meine es gibt doch auch kompliziertere Terme die man eben nicht im Kopf überprüfen kann, und wenn ich mal annehme das der "Beweisersteller" irgentein Kriterium benutz hat um das anzunehmen, dann wird mir diese Behauptung nicht klar.
Kann mir da jemand helfen das zu verstehen ?
Deutlich wird das meiner Meinung nach auch später, wo dann einfach behauptet wird:
x + (1/x) <= (5/2) für alle x € X
um das Supremum zu beweisen, ich meine es ist klar das wenn ein Term wirklich <= S ist das es sich dann um ein Supremum handelt wegen dem "=", aber da steckt doch sicher irgenteine Abschätzung oder ein Kriterium dahinter das ich jetzt blos nicht erkennen kann oder?
2.)
X = { |1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] : x,y € R, x <> y}
Es genügt |x| < |y| zu betrachten (sonnst vertausche x und y) Somit gilt |y| > 0 "genau dann wenn" (also <==>) y² > 0 und mittels Dreiecksungleichung erhällt man
|1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] <= |1 + |x||y|| / [(1 + x²)(1 + y²)] < |1 - y²| / [(1 + x²)(1 + y²)] = 1/(1 + y²) <= 1
Somit ist 1 obere Schranke von X
------------------------
- bis hierhin ist noch alles klar
aber jetzt:
------------------------
Ist s' < 1, so ist für x = 0
|1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] = 1/y² > s` <==> y² < (1/s') - 1 ==> y < (1/s`) - 1
usw.
Das Problem ist die Stelle: "Ist s' < 1, so ist fpr x = 0"
Wieso kann man einfach x=0 setzen um den Beweis fortzuführen?
das verstehe ich überhaupt nicht.
Es wäre echt Nett von euch wenn sich jemand erbarmen würde mir diese 2 kleinen Fragen zu beantworten.
Ich habe 2 Folgen gegeben deren Supremum und Infimum zu bestimmen sind, jedenfalls habe ich Probleme die Beweise nachzuvollziehen:
1.)
X = {x + (1/x) | (1/2) < x <= 2}
Im Beweis steht:
Für (1/2) < x <= 2 gilt x + (1/x) >= 2
Und hier gehts schon los:
-Also mir ist klar das der Term nicht kleiner als 2 wird im gegebenen Wertebereich
aber das kann doch hier nicht der Grund für die Behauptung:
x + (1/x) >= 2 gewesen sein, oder ?
ich meine es gibt doch auch kompliziertere Terme die man eben nicht im Kopf überprüfen kann, und wenn ich mal annehme das der "Beweisersteller" irgentein Kriterium benutz hat um das anzunehmen, dann wird mir diese Behauptung nicht klar.
Kann mir da jemand helfen das zu verstehen ?
Deutlich wird das meiner Meinung nach auch später, wo dann einfach behauptet wird:
x + (1/x) <= (5/2) für alle x € X
um das Supremum zu beweisen, ich meine es ist klar das wenn ein Term wirklich <= S ist das es sich dann um ein Supremum handelt wegen dem "=", aber da steckt doch sicher irgenteine Abschätzung oder ein Kriterium dahinter das ich jetzt blos nicht erkennen kann oder?
2.)
X = { |1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] : x,y € R, x <> y}
Es genügt |x| < |y| zu betrachten (sonnst vertausche x und y) Somit gilt |y| > 0 "genau dann wenn" (also <==>) y² > 0 und mittels Dreiecksungleichung erhällt man
|1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] <= |1 + |x||y|| / [(1 + x²)(1 + y²)] < |1 - y²| / [(1 + x²)(1 + y²)] = 1/(1 + y²) <= 1
Somit ist 1 obere Schranke von X
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- bis hierhin ist noch alles klar
aber jetzt:
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Ist s' < 1, so ist für x = 0
|1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] = 1/y² > s` <==> y² < (1/s') - 1 ==> y < (1/s`) - 1
usw.
Das Problem ist die Stelle: "Ist s' < 1, so ist fpr x = 0"
Wieso kann man einfach x=0 setzen um den Beweis fortzuführen?
das verstehe ich überhaupt nicht.
Es wäre echt Nett von euch wenn sich jemand erbarmen würde mir diese 2 kleinen Fragen zu beantworten.