TC
13.09.2001, 13:53
z=f(x;y)=y/x+2x+108/y-17
Kann mir jemand sagen wie ich die relativen Extremwerte dieser Funktion ermitteln kann.
Kann mir jemand sagen wie ich die relativen Extremwerte dieser Funktion ermitteln kann.
Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Extremwerte
Lim_Dul
23.09.2001, 18:46
So nun aber das richtige (hoffentlich)
Also die Ableitung(Gradient) ist:
Grad f(x,y) = (-y/x²+2,1/x-108/y²)
Die muss gleich null gesetzt werden, d.h.:
-y/x²+2=0 <=> y=2x² und
1/x-108/y²=0 <=> y²=108x
=>
4x^4=108x <=> x³=27 <=> x=3
=> y=18
Das heißt, der einzige kritische Punkt ist (3,18)
Das überprüft man nun mit der Hesse Matrix:
(Soll eine 2x2 Matrix sein)
(2y/x³, -1/x² )
(-1/x², 216/y³ )
Einsetzen des kritischen Punktes:
( 36/27, -1/9 )
( -1/9, 216/324 )
=
( 4/3, -1/9 )
(-1/9, 2/3 )
Diese Matrix ist postiv definit (Rechnung erspar ich mir, das folgt daraus das die Spur positiv ist und die Determinate >0 ist).
Damit ist dieser Punkt ein isoliertes, lokales Minimum.
f(3,18)=1
Diesmal scheint die Rechnung zu stimmen, der Ergebnisse sehen gut aus ;)
Also die Ableitung(Gradient) ist:
Grad f(x,y) = (-y/x²+2,1/x-108/y²)
Die muss gleich null gesetzt werden, d.h.:
-y/x²+2=0 <=> y=2x² und
1/x-108/y²=0 <=> y²=108x
=>
4x^4=108x <=> x³=27 <=> x=3
=> y=18
Das heißt, der einzige kritische Punkt ist (3,18)
Das überprüft man nun mit der Hesse Matrix:
(Soll eine 2x2 Matrix sein)
(2y/x³, -1/x² )
(-1/x², 216/y³ )
Einsetzen des kritischen Punktes:
( 36/27, -1/9 )
( -1/9, 216/324 )
=
( 4/3, -1/9 )
(-1/9, 2/3 )
Diese Matrix ist postiv definit (Rechnung erspar ich mir, das folgt daraus das die Spur positiv ist und die Determinate >0 ist).
Damit ist dieser Punkt ein isoliertes, lokales Minimum.
f(3,18)=1
Diesmal scheint die Rechnung zu stimmen, der Ergebnisse sehen gut aus ;)
TC
30.09.2001, 19:48
Ergebnisse waren richtig vielen Dank