Folgen und Schranken

[Borg]

ich habe folgende hausaufgabe: gegeben sei die folge < an> mit an=1-1/n geben sie die obere Schranke (SO) und die untere Schranke (SU)an und beweisen sie rechnerisch,dass es sich bei beiden zahlen um schranken der folge handelt.
der erste teil ist einfach:
SO=1
SU=0

aber wie beweise ich dass nun?
ich habe in meinem gesamten mathematischen leben einen beweis gelern,und zwar für potenzrechengesetze.die waren allerdings auch einfach,da man die letztendlich auf die definition einer potenz zurückführte.wie geh ich dass hier an?
danke für jede hilfe

[Adam]

@Borg

Hm...versuch es mal so:

1 > 1-1/n , nun auf beiden Seiten quadrieren....ausrechnen ....der Rest sollte klar sein :D
Ebenso gehts Du für die untere Schranke vor aber mit 0 < 1-1/n ....

Grüß
Adam

[Borg]

jo,so geht es.wir haben es heute bereits in der schule gemacht.ich geh da einfach immer zu kompliziert dran.ich hab mir gedanken über umkerhrfunktionen und deren wertemengen gemacht,aber alles viel zu kompliziert. danke für deine hilfe.

bei meinen überlegungen bin ich aber auf ein anderes problem gestoßen: eine folge ist eine funktion mit der definitionsmenge N*. jede funktion für die gilt,dass sowohl jedem x-wert einer definitionsmenge ein y-wert einer wertemenge zugeordnet wird aber auch jedem y- nur ein x-wert zugeordnet wird, hat eine umkehrfunktion.dies trift auf die folge zu.
desweiteren gilt:die wertemenge der umkerfunktion ist gleich der definitionsmenge der funktion.und entsprechend für die definitionsmenge.
nur bei einer folge klappt das irgendwie nicht.
für eine unbeschränkte folge gilt:
D={N*} und W={R}
für die umkehrfunktion sollte also gelten:
D={R} und W={N*}

das ist ja käse. da kann dann ja irgendwie was an der definition einer umkehrfunktion nicht stimmen. wo ist mein fehler?

[Adam]

@Borg

Die Funktion f(x)=y, xeDf mit der Wertemenge Wf heißt umkehrbar, wenn auch die Zuordnung y = x eindeutig ist. Diese Funktion wir als Umkehrfunktion bezeichnet.
Es gilt D(f^-1)= Wf W(f^-1) = Df
Somit ist an deiner Definition nichts falsch...
Und dies muß auch für eine Folge gelten die streng monoton fallend bzw. steigend ist.

Hier hast Du Dich vertippt denke ich:
" ...eine Funktion mit der Wertemenge N* "
Es muß doch lauten mit der Definitionsmenge N*; hast Du aber unten richtig geschrieben.


Grüß
Adam

[Borg]

ja,du hast recht,da hab ich mich verschrieben.

nur was ist mit meinem problem?

die folge an=1-1/n mit neN* hat die wertemenge W={R|0<=an<1}. die umkehrfolge bn=1/1-n müsste also eine funktion mit der definitionsmenge D={R|0<=n<1} und der wertemenge W={N*} sein.

das ist aber falsch,da nur ein neR zwischen null und 1 einen funktionswert liefert,der in der wertemenge enthalten ist.(nämlich n=0)

[Adam]

@Borg

Hm...der Definitionsbereich der Folge ist einfach zu klein gewählt mit der Menge der natürlichen Zahlen; hier müsste auch R stehen. Daraus ergibt sich ein Wertebereich für die Umkehrfunktion W= R, das passt schon eher.
Für die Folge mit den D= N gibt es somit keine Umkehrfunktion auch wenn die mathematische Bildung der Umkehrfunktion möglich ist.

Grüß
Adam