Partialbruchzerlegung

[Macgyver]

hallo,

ich habe heute eine Beispielaufgabe zur Integration mittels Substitution durchgerechnet. Das hat auch soweit funktioniert. Allerdings ist ein Schritt in der vorgeschlagenen Lösung den ich nicht so recht nachvollziehen kann.:

<font class="serif">∫</font>-du/(u²-4) = 1/4<font class="serif">∫</font>((1/u+2)-(1/u-2))du

Diese Umformung soll mit der Partialbruchzerlegung möglich sein, aber wie? Das was ich in Büchern darüber gefunden habe, passt überhaupt nicht zu meinem Beispiel. Weiß jemand mehr darüber?

Gruß Mac :cool:

[buba]

Partialbruchzerlegung

1 -1
- -------- = -----------------
u2 - 4 (u + 2)&middot;(u - 2)

Es ist zu erfüllen:

-1 A1 A2
-------- = ------- + -------
u2 - 4 u + 2 u - 2

linke Seite:

-1 0&middot;u - 1
-------- = --------- (Polynomfunktion im Zähler finden)
u2 - 4 u2 - 4

rechte Seite:

A1 A2 A1u - 2A1 + A2u + 2A2 (A1 + A2)u - (2A1 - 2A2)
------- + ------- = ------------------------ = -------------------------
u + 2 u - 2 (u + 2)&middot;(u - 2) u2 - 4

Da linke Seite = rechte Seite sein muss, folgt:
0&middot;u - 1 = (A1 + A2)u - (2A1 - 2A2)

Daraus ergibt sich ein LGS mit
A1 + A2 = 0
2A1 - 2A2 = 1
1 1
eindeutige Lösung: A1 = + --- ; A2 = - ---
4 4

Die Partialbruchzerlegung lautet somit:

-1 1 -1
-------- = ---------- + -----------
u2 - 4 4&middot;(u + 2) 4&middot;(u - 2)


Und so kommst du auf das angegebene Integral 1/4 <font size="+2" face="courier new">∫</font> [(1/(u+2)) - (1/(u-2))] du

[Macgyver]

das funktioniert ja wirklich. Ich habs kappiert. Vielen Dank für deine Mühe.

[Adam]

@All


Oder, um den Keoffizientenvergleich wegzulassen, man kann nach dem zweiten Schritt einfach durch (u-2) bzw. durch (u+2) dividieren und die entsprechenden Nullstellen jeweils einsetzen.


Cu
Adam