Rang einer Matrix

[nobody]

Habe ein kleines Problem mit der Bestimmung des Rangs einer Matrix.

Ich meine irgendwo gelesen zu haben, dass es egal sei, ob man den Rang nun nach den unabhängigen Zeilen oder Spalten bestimmt. Nun folgendes Problem:

Matrix

1 3 1 0
0 -4 -2 3
0 0 2 6

Diese Matrix hat den Rang 3, da es 3 unabhängige Zeilen gibt. Will ich nun den Rang nach den Spalten bestimmen komme ich auf 4, da ich keine Abhängigkeit zwischen den Zeilen finde. Könnte mir jemand kurz bei meinem kleinen Problem behilflich sein?

[upsidedown]

Ersetz mal im Geiste die "vierte Zeile":
0 0 0 0

[nobody]

Nun hätte ich eine 4 x 4 Matrix, wo die letzte Zeile der Nullvektor wäre. Es gäbe nun eine abhängige Zeile und drei unabhängige. Nach den Spalten aber immer noch 4 unabhängige Spalten.

Irgendwo hab ich mir mal aufgeschrieben, dass der Rang die Anzahl der nicht Nullzeilen ist. Würde ja passen! Sind bei der oben angegebenen Matrix dann 3. Doch wie bestimme ich es nach den Spalten? Die gedanklich eingefügte vierte Zeile mit 0 0 0 0 hilft wir da nicht weiter...

[upsidedown]

Vergiss die 4. Zeile..

Aber wie kommst du da auf 4 unabhängige Spalten?! Mal abgesehen davon, dass das schon allein anschaulich aus der Vektorrechnung nicht geht - man kanns auch einfach nachrechnen:

-77/9 * Spalte1 - 4/9 * Spalte2 + 3 Spalte3 = Spalte4

Guck dir am besten nochmal die Geschichte mit den Basisvektoren von Vektorräumen an.