Lineare Algebra: Erzeugenden-System + Basis

[acky]

kann mir jemand zu folgenden aufgaben was sagen:

sei W := span{f,g] [ = erzeugenden-system, die red. ] mit f = sin x und g = cos x, x element R.
a) zeigen sie, dass h = sin(x+Φ) und q = cos(x+Φ) für alle reellen Φ in W
liegen.
b) ermitteln sie, ob B := {h,q} eine basis von W ist.

hier bin ich leider recht ratlos und finde so gar keinen sinnigen ansatz - bin
somit für jeden gut gemeint tipp dankbar!

acky

[nobody]

Hi,

zu a)

Ich sehe grade, die Aufgabe war anderst gemeint, sorry :sad:
h und q liegen dann in dem von f und g aufgespannten Vektorraum, wenn man h und q als Linearkombination von f und g ausdrücken kann. Du musst also zeigen, dass die Gleichungen h=f(x)+g(x) und q=f(x)+g(x) für jedes mögliche Φ eine Lösung besitzen. Es reicht eine Lösung zu finden, im allgemeinen gibt es unendlich viele Möglichkeiten, einen bestimmten Vektor durch ein Erzeugendensystem darzustellen. Ein Erzeugendensystem muss nicht eindeutig sein.

zu b)

h und q bilden dann eine Basis des Vektorraums W, wenn jedes Element in W eindeutig durch die beiden Vektoren ausgedrückt werden kann. Im wesentlichen musst da also festsellen, ob h und q linear unabhängig sind. Also ob die Bedingung 0=h(x)+b(x) eine andere als die triviale Lösung hat. Sieht bei Winkelfunktionen mit der liearen Unabhängigkeit immer sehr sehr schlecht aus ;)

Ist einfach eine Anwendung der Definition von Erzeugendensytem und Basis, allerdings eine ziemlich unsinnige...

Gruß