Vektor und Skalarprodukt

[sakk]

ich soll folgendes zeigen:


(a x b)² + (a b)² = a² +b²


ich kann ja jetzt das vektorprodukt auflösen und anschließend quadrieren und habe dann ja

a2²b3²+a3²b2²+a1²b3²+a3²b1²+a1²b2²+a2²b1² - 2(a2 a3 b2 b3 +a1 a3 b1 b3+a1 a2 b1 b2) + (a b)²

das könnte ich dann ja wieder weiterrechnen und denke man kommt da vll auch auf die lösung, aber würde es nicht vll auch anders gehen?


z.b. kann ich doch das vektorprodukt auch als 'ab |siny| ' angeben

und wiederum das skalarprodukt als 'ab cos y'
kann ich das auch so machen?


sakk :)

[Aetna]

Dein letzter Weg ist sicherlich der einfachere.

Allerdings muss in Deiner Gleichung auf der rechten Seite aus a2 + b2 dann a2b2 ('mal' statt 'plus')gemacht werden.

[sakk]

oh natürlich...du hast recht...
komme aber im nicht mehr weiter...

also:

(a x b) (a x b) + (a+b)²

= (ab | siny |) (ab | siny|) + a² + 2ab + b²

wie mache ich an der stelle weiter, so dass ich dann auch auf was vernünftiges komme?

sakk :)

[Aetna]

Du hast die Bestandteile der Lösung in Deinem ersten Beitrag doch praktisch schon hingeschrieben:

(a x b)² + (a b)2 = (|a||b| sin(Winkel(a,b))2 + (|a||b| cos(Winkel(a,b))2 = |a|2|b|2 (sin2 + cos2) = |a|2|b|2

a, b sind Vektoren, |a|,|b| ist deren Länge, (a b)² auf der linken Seite ist dabei das Skalarprodukt der Vektoren zum Quadrat und das Quadrat aus (a x b)² ist ein Skalarprodukt-Quadrat, wobei für einen Vektor c gilt: c² = (|c|)2 .

[sakk]

ahh....dankeschön...
sowas nennt man glaube ich brett vor dem kopf ;)...


merci..


arne