Hi ihr, ihr seid vielleicht meine letzte Hoffnung ;)
Muss für die Schule den Kathetensatz beweisen, und zwar auf REIN vektorieller Ebene.
Wäre euch sehr zu dank verpflichtet, finde keinen Ansatz :(
Danke für die schnelle Antwort, aber leider werde ich nicht schlau, aus dem was da steht!
Kathetensatz ist zwar erklärt, aber nicht rein vektoriell! Nur der Phythagoras, und Kathetensatz wird nicht weiter erklärt! Wäre super, wenn du das weiter erklären könntest!
Vielen Dank schonmal für die superschnelle Antwort.
sakk
07.01.2004, 17:39
Beweis des Kathetensatzes und des Satzes von Pythagoras (euklidische Methode):
Zu zeigen ist die Flächeninhaltsgleichheit vom Quadrat ACEF über der Kathete [AC] mit dem Rechteck ADGH aus der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt [AD]. Dafür genügt der Nachweis, daß die Dreiecke ACF (=halbes Quadrat) und AHD (=halbes Rechteck) denselben Flächeninhalt besitzen. Wegen BC||AF haben die beiden Dreiecke AFC und AFB denselben Flächeninhalt. Wegen CD||AH sind auch die Dreiecke AHD und AHC flächeninhaltsgleich. Für die Dreiecke ABF und AHC gilt nun aber: |AB|=|AH|, |AF|=|AC|, <BAF=<HAC (<:Winkel). Nach dem Kongruenzsatz SWS sind daher die Dreiecke ABF und AHC kongruent und somit flächeninhaltsgleich. Hieraus folgt, daß dann auch die Dreiecke ACF und AHD denselben Flächeninhalt besitzen müssen. Damit ist der Kathetensatz gezeigt. Es gilt also |AC|2=|AB|*|AD| und |BC|2=|AB|*|BD|, d.h. b2=c*q und a2=c*p. Addition der beiden Gleichungen ergibt: a2+b2=c*p+c*q=c*(p+q)=c2, womit auch der Satz des Pythagoras bewiesen ist.
hilft das nicht?
sakk :)[list=1]
[/list=1]
nobody
07.01.2004, 17:44
Kein Thema, hatte gedacht das wäre auch so iO. Hab das meinem Mathelehrer gegeben, sein Statement: "Ich möchte einen REINEN vektoriellen Beweis des Kathetensatzes, in dem Ansatz beweist du es ja über die Kongruenz von 2 Dreiecken, nach Euklid. Sollst des doch per Skalarprodukt lösen" :(
Marvek
07.01.2004, 18:00
Na Du hast doch da 3 Rechtwinklige Dreiecke, gegeben:
abc
aph
bqh
Also 3 mal Skalarprodukt anwenden.
mit c=p+q
lässt sich daraus nicht irgendwie der Kathedensatz schustern ?
nobody
07.01.2004, 18:04
schön für die rechtwinkligen Dreiecke, leider bildet der Kathetensatz ein Rechteck über dem Hypothenusenabschnitt :(
nobody
07.01.2004, 18:32
habs aufgestellt, is zum verzweifeln :( ich schaffs nich!
nobody
07.01.2004, 19:46
sorry für dreifachpost, aber könnte man das nicht so angehn wie
hier (http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?s=&threadid=9745) ?
sakk
07.01.2004, 19:51
ich würde von dem, was wir dir oben geschrieben habe bzw. was auch auf der gelinkten seite steht einfach mal ausgehehen und es dann so versuchen..
versuch es einfach mal...merkst ja dann schnell, ob du weiter kommst *g*..
sakk :)
nobody
07.01.2004, 20:07
ich habs eher andersrum versucht wie bei meinem link der höhensatz bewiesen wurde. komm da leider auch nicht ganz so weit :(
engie
07.01.2004, 20:42
Ich probiers mal, dabei gehe ich von diesem Bild aus.
p ist der rechte untere Vektor der von der Höhe begrenzt wird und in Richtung von b zeigt.
zu zeigen ist b*p = c²
Beweis:
Es gilt
b - c = a | * c
b *c - c² = a *c = 0, da a senkrecht zu c
==> b *c = c² (i)
weiterhin gilt: (C sei der Einheitsvektor in c Richtung )
c *b = c * C * b = c * p (ii)
Das gilt, da (C * b) * C = p.
c wird auf b projeziert, was gerade q ergibt.
(i) und (ii) ==> Beh.
nobody
07.01.2004, 21:01
Zuerst kleine Anmerkung am Rande, b is in unsrem Fall hier die Hypothenuse, nicht c! Is ja (relativ) egal, muss man halt nur die Bezeichnungen umwandeln.
Es gilt
b - c = a | * c
Glaub nicht, dass das stimmt, wenn dann a = b+ c
is egal, kommt auf's gleiche raus.
(i) stimmt, ok..
nur leider versteh ich's dann nicht weiter.. tut mir leid :(
aber danke schonmal für die Hilfe!
engie
07.01.2004, 21:07
Du hast natürlich recht, c zeigt auf dem Bild in die falsche Richtung.
nobody
07.01.2004, 21:11
Könntest du teilschritt 2 nochmal erklären? wäre nett! geht das nicht einfacher, wenn man irgendwie die Teilhypothenusenabschnitte in abhängigkeit von a / b ausdrücken kann?
engie
07.01.2004, 21:21
Du kannst dir (ii) auch anders klar machen:
Sei alpha der Winkel zwichen c und b. Dann gilt:
c * b = c * b * cos(alpha) = c * p.
nobody
08.01.2004, 20:40
Bin auf den Beweis alleine gekommen.
Hat ziemlich gedauert aber ich habs.
Wen's interessiert, hier die Lösung: