Vektorraumaufgabe

[Pothead]

Seid gegrüßt, Freunde der Sonne!
Folgende Aufgabe ist für euch wahrscheinlich o.b.d.a trivial ;), mich überfordert sie jedoch:
Es sei V n der Vektorraum der Polynomfunktionen f:R(pfeil)R vom Grad kleinergleich n. Zeigen sie dass
p: Vn (pfeil) Vn mit p(f)= f+f` linear ist (f` sei die Ableitung von f).
Ist p ein Vektorraumisomorphismus?

Tipp: Bestimmen sie ggf. die Matrix der inversen Abbildung p-1: Vn (pfeil) Vn bezüglich der Basen A,B von V n , wobei A=B=(f 0,f 1,...,f n); f k(x)=x k

Dieser "Tipp" verwirrt mich völlig, was soll ich hier bloß machen und wie?! Ich hoffe ihr Special Forces der Nathematik könnt mir nen bißchen helfen, wär wirklich nett!

[crazy_budgie]

Hallo!
Für Linearität zeig einfach p(f+g) = p(f) + p(g) und a*p(f) = p(af), kein Problem weil ja ne Summe dasteht und auch die Polynome nur aus Summanden bestehen.
Wegen dem Isomorphismus: würd ich auch ohne den Tip machen, stell einfach mal die zugehörige Matrix auf:


an 0 .... 0 0
n*an an-1

... ...

a1 0
0 ... a1 a0

(die ist jetzt nur Basis Xn, Xn-1, ..., X, 1).


Die Spalten sind alle linear unabhängig, d.h. die Determinante ist ungleich 0 und somit ist es ein Isomorphismus.

Gruß, CB

[Pothead]

Genauso wollte ich den Isomorphismus auch zeigen, dachte dann aber dass sei wohl falsch weil das a) zu einfach ist und b) den tollen "Tipp" nicht einbindet. Aber wenn das so einfach geht werd ich das natürlich auch so machen. Ich danke dir, crazy_budgie.