Wie schon erwähnt muss ich morgen Klausur schreiben.
Im Bereich Stochastik bereitet mir da eine Art Aufgabe, die wir im Unterricht nie hatten ein wenig Probleme.
Und zwar:
In einer Urne sind 3 schwarze und 3 weiße Kugeln. Wie oft muss man im Mittelohne Zurücklegen ziehen bis man
a) eine schwarze Kugel,
b) zwei schwarze Kugeln
gezogen hat?
Mein Ansatz sieht da so aus, dass ich den Erwartungswert berechne, aber da bin ich mir schon gar nicht mehr so sicher:
Ich bin mir aber schon nicht sicher, ob das mit den Wahrscheinlichkeiten so sinnvoll ist. Und wie müsste ich nun fortfahren? Müssen die einzelnen Werte noch aufsummiert werden? Und wenn dann der Erwartungswert über 1 ist, dann habe ich eine Kugel?
Dann versteh ich aber nicht, warum der Erwartungswert nach 4 Zügen kleiner als 3 ist...
Wenn mir da nochmal jemand helfen könnte, das wäre nett!
glimpse
19.11.2003, 19:45
Wenn irgendwo ?im Mittel? steht liegst Du mit dem Erwartungswert meist richtig, also soweit stimmt?s. Bei der Berechnung kann ich allerdings nicht so ganz sehen worauf Du hinauswolltest...
Mein Versuch: Erwartungswerte für die Anzahl der Schwarz-Züge für jeweils 1 mal, 2 mal, 3 mal usw. ziehen bestimmen:
1 mal Ziehen:
P(X=0) = 1/2
P(X=1) = 1/2
E(X) = 0*1/2 + 1*1/2 = 1/2
(ok, das wäre noch im Kopf gegangen... ;) )
2 mal Ziehen:
P(X=0) = 1/2*2/5 = 1/5
P(X=1) = 1/2*3/5 + 1/2*3/5 = 3/5
P(X=2) = 1/2*2/5 = 1/5
E(X) = 0*1/5 + 1*3/5 + 2*1/5 = 1
--> im Mittel musst du zwei mal Ziehen um eine schwarze Kugel zu bekommen
--> drei mal Ziehen reicht also nicht aus um im Mittel zwei schwarze Kugeln zu bekommen.
Also das Ganze für vier mal Ziehen nochmal durchexerzieren und schaun ob man auf zwei kommt... (sollte man von der Intuition her).
Jan84
19.11.2003, 19:52
Ah ja, ich glaube das hilft mir! Danke erstmal.
Ich schätze ich seh, wo mein Denkfehler lag. Ich werd's mal an anderen Aufgaben ausprobieren.
upsidedown
19.11.2003, 19:55
Ist ja alles ganz schön glimpse - aber das hat nichts mit der Aufgabe zu tun fürchte ich :no:
Jan84
19.11.2003, 20:12
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Ist ja alles ganz schön glimpse - aber das hat nichts mit der Aufgabe zu tun fürchte ich :no:
Ich fürchte schon... :no:
Das ist nämlich eine sch*** Rechnerei. Und ab 3 Zügen muss man auch zwangsläufig ein Baumdiagramm zeichnen. Ist ein ganz schöner Aufwand!
Aber wenn du die Aufgabe anders angehen würdest, schieß los! Mich würd's nicht stören, wenn's einfacher ginge...
upsidedown
19.11.2003, 20:13
Ok, bevor das hier jetzt allzu konfus wird:
Dein ursprünglicher Ansatz war vom Gedanken her gar nicht so weit daneben - eigentlich sind nur Rechenfehler und ein paar formale Dinge falsch.
X = Anzahl Züge bis zum ersten Mal schwarz gezogen wird:
x=1 bedeutet Zugreihenfolge:
s
x=2
w s
x=3
w w a
usw...
Bei den p(x) hast du dich dann etwas verhaspelt:
p(1) = 1/2 (klar)
p(2) = 1/2 * 3/5
p(3) = 1/2 * 2/5 * 3/4
p(4) = 1/2 * 2/5 * 1/4 * 3/3
Kann man zwar zur Not an den Fingern abzählen, aber kann man halt auch viel falschmachen ;)
Der Erwartungswert ergibt sich dann wie du ganz richtig erkannt hast aus
E(X) = 1*p(1) + 2*p(2) + 3*p(3) + 4*p(4)
Die einzelnen Summanden aber als E= zu bezeichen ist allerdings falsch (und wird dir in Klausuren auch Punkte kosten)
Die zweite Aufgabe ist ein kleines bischen trickier, aber das Grundschema ist das gleiche. Nur bei den p(x) muss man halt etwas mehr aufpassen.
glimpse
19.11.2003, 20:14
Ok, ich sehs ein, das kann man wohl wirklich nicht so übertragen.
X ist also nicht die Anzahl der Schwarz-Züge sondern die Anzahl der Züge bis Schwarz.
Damit hätte man für a)
X=1: s
X=2: w s
X=3: w w s
X=4: w w w s
Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und aufsummieren wie oben...
Für b dann analog alle möglichen Fälle aufstellen wie man zu zwei schwarzen kommen könnte.
edit: up war schneller... na egal, schönen Abend noch ;)
Jan84
19.11.2003, 20:21
Ja, verdammt! Na klar! *hand vor den kopf klatsch*
Das macht glaub ich tatsächlich deutlich mehr Sinn. Wobei ich ja glaub, das das andere vom Prinzip auch funktionieren könnte, aber einfach nur viel zu kompliziert ist.
Ok, ich probier's jetzt nochmal aus. Wenn da logische Ergebnisse rauskommen, dann is gut. :)
Da ihr schon so schön dabei seid, könntet ihr mir ja vielleicht auch noch bei meinem Problem mit den Polen (nein, nicht die Polen, sondern die Pole sind gemeint ;)) helfen. Das ist nämlich eigentlich wichtiger für morgen... ;)
Jan84
19.11.2003, 20:41
Hmm, was genau sagt der Erwartungswert da eigentlich aus?
Ich hab's mal an einer ähnlichen Aufgabe probiert:
Eine Schale enthält 4 heile und 4 kaputte Eier. Wie oft muss man ziehen, damit man 1 heiles Ei erhält?
Wenn man das nun macht, dann kommt da raus:
E(1) = 1/2
E(2) = 15/14
E(3) = 39/28
E(4) = 227/140
E(5) = 237/140
E(6) = 249/140
Das ganze scheint also gegen 2 zu gehen. Gibt der Erwartungswert nun also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man nach x Zügen ein heiles Ei gezogen hat?
Richtig, oder?
Wenn ich also alle 8 Eier ziehe, dann hab ich mit 200%iger Wahrscheinlichkeit ein heiles Ei dabei? Ok, ist schwachsinnig, aber vom Prinzip richtig?
upsidedown
19.11.2003, 22:05
Originalnachricht erstellt von Jan84
Hmm, was genau sagt der Erwartungswert da eigentlich aus?
Ich hab's mal an einer ähnlichen Aufgabe probiert:
Eine Schale enthält 4 heile und 4 kaputte Eier. Wie oft muss man ziehen, damit man 1 heiles Ei erhält?
Wenn man das nun macht, dann kommt da raus:
E(1) = 1/2
E(2) = 15/14
E(3) = 39/28
E(4) = 227/140
E(5) = 237/140
E(6) = 249/140
Das ganze scheint also gegen 2 zu gehen.
Ok - wenn die Zahlen da stimmen dann ist die Antwort: Man muss 2x ziehen. Soweit iO.
Originalnachricht erstellt von Jan84
Gibt der Erwartungswert nun also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man nach x Zügen ein heiles Ei gezogen hat?
Richtig, oder?
Wenn ich also alle 8 Eier ziehe, dann hab ich mit 200%iger Wahrscheinlichkeit ein heiles Ei dabei? Ok, ist schwachsinnig, aber vom Prinzip richtig?
Nähh :no: Überhaupt nicht richtig..
Der Erwartungswert einer Größe ist der Wert, den man von der Theorie her als Mittelwert erwartet.
Also wenn du bei 2x Ziehen den Erwartungswert 15/14 hast, dann bedeutet das, dass wenn du nur oft genug das Experiment wiederholst und jedesmal aufschreibst wieviele heile Eier du bei 2x Ziehen hast und aus den ganzen Ergebnissen den Mittelwert bildet dann auf ungefähr 15/14 kommen solltest - je mehr Versuche desto näher dran.
Jan84
19.11.2003, 22:22
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Also wenn du bei 2x Ziehen den Erwartungswert 15/14 hast, dann bedeutet das, dass wenn du nur oft genug das Experiment wiederholst und jedesmal aufschreibst wieviele heile Eier du bei 2x Ziehen hast und aus den ganzen Ergebnissen den Mittelwert bildet dann auf ungefähr 15/14 kommen solltest - je mehr Versuche desto näher dran.
Aber wenn ich 6mal ziehe, dann erwarte ich im Schnitt nur 249/140 heile Eier? Das sind ja nichtmal 2! Das halte ich doch für sehr unwahrscheinlich (im wahrsten Sinne des Wortes sozusagen).
upsidedown
20.11.2003, 00:07
Von der Deutung her richtig - aber da hast du dich dann definitiv verrechnet. Wenn du aus einer 4+4 Menge 6 mal ziehst dann hast du immer mindestens 2 von einer Sorte drin. Also stimmt dein Erwartungswert nicht.