Ableitungen (Festigkeitslehre, MB I) [Archiv]

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nobody

21.10.2003, 16:46

Tach Leute,

Ich wusste nicht so genau, ob ich meine Frage ins MAthe-Forum eintragen soll, also schreib ich sie mal hier dazu, weil sie ja die Festigkeitslehre betrifft.

Ich habe die Formel für die allgemeine Dehnung ε(x) in einem Körper.

Sie lautet wie folgt:

ε (x) = du(x) / dx

Oder -besser gesagt- im wirklich allgemeinsten Fall [Wenn irgendwelche Punkte im zu dehnenden Körper von x,y und z abhängen) sieht das Ding dann so aus:

ε(x) = δ u / δ x

u soll also abhängig von x,y und z sein, woraus resultiert, dass man die Dehnung ε (x) durch die partiellen Ableitungen von u(x,y,z) erhält.

So steht es jedenfalls in meinem Skript. Doch blicke ich da nicht so ganz durch. Erstens haben wir auf der FOS nie die partielle Ableitung durchgenommen, was heißt, dass ich schonmal daran scheitere. Im Weiteren frage ich mich, was das "d" in der ersten Formel nun bedeutet. Soll es nur andeuten, dass z.B. x infinitesimal klein ist (also: dx [wie beim Integral]), oder ist das dann ne sogenannte Differentialgleichung? Muss ich dann mit diesen d's irgendwie auf ne besondere Weise rechnen. Ist nämlich auch etwas, das wir auf der FOS nicht hatten; Differentialgleichungen.

Wäre nett, wenn hier jemand Klarheit rein bringen könnte.

Danke, Integral

nobody

21.10.2003, 16:59

Es heißt in meiner Formel:

ε(x) = ∂u / ∂x

Ich hatte aber vorher statt dem "Teilweise"-Zeichen ein Delta geschrieben. Aber jetzt wäre zumindest dieser Syntaxfehler geklärt.

buba

21.10.2003, 17:04

Originalnachricht erstellt von Integral
Im Weiteren frage ich mich, was das "d" in der ersten Formel nun bedeutet. Soll es nur andeuten, dass z.B. x infinitesimal klein ist (also: dx [wie beim Integral]), oder ist das dann ne sogenannte Differentialgleichung? Muss ich dann mit diesen d's irgendwie auf ne besondere Weise rechnen.
Das ist die Leibnitz'sche Schreibweise für Ableitungen. In der Schule lernt man f´(x), aber es gibt nun mal andere Funktionsbezeichnungen als f und andere Variablen als x, deswegen eignet sich die allgemeine Form df(x)/dx = df/dx besser. Eine DGL ist es deswegen noch nicht.
http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?s=&threadid=17991

ε(x) = ∂u / ∂x
Würde mich etwas wundern, wenn das die Definition wäre. Sicher, dass die anderen partiellen Ableitungen nicht auch vorkommen?

nobody

21.10.2003, 17:26

Dort steht:

ε (x) = ∂ u / ∂ x

mit u = f(x,y,z)

Habe da also was vergessen. Sorry :-)

Trotzdem habe ich keine Ahnung von partiellen Ableitungen, geschweige denn dann in der Umkehrungen von partieller Integration.

Hmm... Und das mit den "d's" muss ich mir auch erst mal zu Gemüte führen. Ich hab mich schon so sehr an die andere Schreibweise gewöhnt. Würd mich auch interessieren, was der Unterschied zwischen ner "normalen" Ableitung und dieser sogenannten Differentialgleichung ist.

Und hatte ich nun recht mit der Vermutung, dass das "d" vor dem "x" nur andeuten soll, dass x infinitesimal klein ist?

buba

21.10.2003, 17:45

Würd mich auch interessieren, was der Unterschied zwischen ner "normalen" Ableitung und dieser sogenannten Differentialgleichung ist.
Das ist keine Differentialgleichung, sondern nur eine partielle Ableitung! Bei DGLs kommt eine Variable und deren Ableitung(en) in derselben Gleichung vor, z.B. dN/dt = -λN (radioaktiver Zerfall).

ε(x) = ∂ u / ∂ x

mit u = f(x,y,z)
Man sollte meinen, dass ε nicht nur von x abhängt. Oder sieht f(x,y,z) so aus, dass y und z beim Ableiten nach x wegfallen? :suspect:

Trotzdem habe ich keine Ahnung von partiellen Ableitungen, geschweige denn dann in der Umkehrungen von partieller Integration.
Das ist nicht die Umkehrung!

Und hatte ich nun recht mit der Vermutung, dass das "d" vor dem "x" nur andeuten soll, dass x infinitesimal klein ist?
Ja, aber das heißt hier was konkret.

nobody

21.10.2003, 18:05

Hmmm... In meinem Skrip steht die Formel so, wie ich sie hier ins Forum geschrieben hab.

Es geht hier um die Dehnung eines Körpers. Die soll allgemein betrachtet werden. Das heißt, der Körper ist in dem Fall dann nicht prismatisch und die Dehnung ist auch nicht konstant auf der Länge.

u, v, w sind die Verschiebungen in die Achsrichtungen. Diese sind von x, y und z abhängig.

u = u(x,y,z)
v = v(x,y,z)
w = w(x,y,z)

Ich nehme mal an, dass da "nur" ∂ u steht, um sich Schreibarbeit zu sparen. Daher hat man vorher rein geschrieben, dass u = u(x,y,z).

Verbesser mich, wenn ich falsch liege.
Bei einer Funktion mehrerer Veränderlicher leitet man also partiell ab. Erst meinetwegen x (y und z werden dann als Konstanten betrachtet), dann y analog, dann z. Und dann bildet man das totale Differential, indem man die Summe der vorher gebildeten partiellen Ableitungen bildet?!?

buba

21.10.2003, 18:17

Originalnachricht erstellt von Integral
Ich nehme mal an, dass da "nur" ∂ u steht, um sich Schreibarbeit zu sparen. Daher hat man vorher rein geschrieben, dass u = u(x,y,z).
Du hast nicht verstanden, worauf ich hinaus wollte. ;) Wenn u von x, y und z abhängt und man für ε das u partiell nach x ableitet, müssen y und z nicht wegfallen. ε wäre also im allgemeinsten Fall wieder eine Funktion von x, y und z.

An einem fiktiven Beispiel: u(x,y,z) = 2xy - x²z + 4y
∂u/∂x wäre dann 2y - 2xz; ε somit nicht ε(x), sondern ε(x,y,z).

Bei einer Funktion mehrerer Veränderlicher leitet man also partiell ab. Erst meinetwegen x (y und z werden dann als Konstanten betrachtet), dann y analog, dann z.
Ja.

Und dann bildet man das totale Differential, indem man die Summe der vorher gebildeten partiellen Ableitungen bildet?!?
Nein, das totale Differential ist was anderes. Bei meinem kleinen Beispiel von vorhin wäre das totale Differential du = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy + (∂u/∂z) dz = (2y-2xz) dx + (2x+4) dy + (-x²) dz.

kat1

21.10.2003, 18:22

Es zweifelt niemand Deine Formeln an.

Die Dehnung epsx ist natürlich durch die partielle Ableitung der Verschiebung u(x,y,z) nach x defniert. Die anderen partiellen Ableitungen ergeben dann die Dehnung in die anderen Koordinatenrichtungen. Es ist aber nicht so, dass Du eps(x) erhältst, das wäre ja dann eine Funktion, die nur von x abhängt (siehe Buba).

buba

21.10.2003, 18:24

Endlich einer, der sich mit dem Hintergrund zum ε auskennt! :D :)

nobody

21.10.2003, 18:35

Stimmt. *schäm*

Hab kapiert, worauf ihr hinaus wollt.
Ich hätte es ander hinschreiben müssen, damits stimmt. Ungefähr so:

ε(x,y,z) = ...

Das habt ihr gemeint, nichts wahr? ;-)

Ihr kennt euch also beide mit dem epsilon aus? *g* Dann erklärt mir mal, was es damit auf sich hat. :-) Naja, so langsam dämmerts bei mir. Muss halt nur mal n paar mathematische Grundlagen auffrischen und andere neu erlernen.

buba

21.10.2003, 18:42

Originalnachricht erstellt von Integral
ε(x,y,z) = ...
Das habt ihr gemeint, nichts wahr? ;-)
Ich schon -- vor dem Beitrag von kat1. Danach: einfach Index x setzen und Abhängigkeiten (x,y,z) weglassen.

Ihr kennt euch also beide mit dem epsilon aus?
Ich nicht, wie man doch offensichtlich sieht.

nobody

21.10.2003, 18:48

Also hier hat niemand die Vorlesung "Festigkeitslehre", nicht wahr?

Dann war es für euch also nur ne rein mathematische Frage. Es wäre nämlich schon interessant, wenn jemand hier die Vorlesung hätte.

Naja, nix für ungut.
Danke für eure Antworten.

Integral

kat1

21.10.2003, 20:02

Doch, ich hatte sie, vor vier Jahren, lass mich mal ein wenig drüber repetieren, vielleicht fällt mir noch was ein ;)

nobody

21.10.2003, 20:38

Ok, wenn dir was einfällt, dann kannst mir gleich mal folgende Frage beantworten. Entweder ich hab da einfach nur n Brett vorm Kopf, oder es mangelt anderswo :-D.

Also:
Die Dehnung epsilon eines beliebigen Körpers kann durch die oben genannte Formel berechnet werden, nicht wahr?
Doch was bedeuten dabei u, v und w? Es sind doch x, y und z die Richtungen des Koordinatensystems, oder etwa nicht? Da aber in dieser Formel dummerweise auch noch u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) und w=w(x,y,z) auftauchen, ist die Verwirrung komplett.
Dass hier die Dehnung epsilon von x,y,z abhängig ist, geht mir ein, da wir ja nun keinen prismatischen Körper mehr betrachten, sondern einen beliebigen. Also kann die Dehnung an jedem "Ort" im Körper verschieden sein. Sie muss also als Funktion von x,y,z beschrieben werden, wodurch jedes beliebige epsilon ausgedrückt werden kann.

Soweit, so gut. Aber was zum Kuckuck sollen u,v,w hier? u,v,w sind nochmals Funktionen von x,y,z. Soviel kann ich allein aus der Formel rauslesen. Aber zum Verständnis dessen bringt es mir nix...

Hmmm... Und dabei is das erst FL I. :-D

mfG, Integral

kat1

22.10.2003, 10:26

Ich kann leider im Moment meine Aufzeichnungen nicht finden, ich schau aber nochmal genauer nach. Vorerst mal soviel (aus dem Kopf), die Dehnung Epsilon (x,y,z) gibt die Formänderung eines Körpers in jede beliebige Koordinatenrichung an. Dabei kann der Körper beliebig dreidimensional geformt sein. Das hat meines Erachtens auch nichts mit einem prismatischen Querschnitt zu tun. Vereinfachungen ergeben sich, wenn der Körper Ausdehnungen in einer oder zwei Dimensionen hat, die vernachlässigbar klein gegenüber den anderen Dimensionen sind (z.B. eine große Platte oder ein langer Stab). Dann wird Epsilon i.A. nur als Funktion einer oder zweier Variablen angegeben. Das ist eine hinreichend genaue Vereinfachung.

Zusammengefasst ist also Epsilon die Reaktion eines Körpers auf eine von außen auf ihn einwirkende Kraft. Diese kann verschiedenen Ursprungs sein (Zug, Druck, Biegung, Torsion, Scherung). Die Funktionen u,v,w kennzeichnén hierbei diese Kräfte. u(x,y,z) ist dabei die Schiebung, die aufgrund einer Scherbeanspruchung auf den Körper auftritt. Wegen der genauen Definition von v und w muss ich nochmal nachschauen.

Ich hoffe, das bringt erstmal ein wenig Licht ins Dunkel. ;)

nobody

22.10.2003, 18:54

Danke für dieses Statement. Es wird immer klarer :-).

Die ganze Sache sieht also zunächst so aus:
Auf einen Körper wirken von außen her Kräfte und/oder Momente, die innere Kräfte -genannt: "Spannungen"- hervorrufen. Diese Spannungen sorgen für Dehnungen, Verzerrungen, etc.

Bei einem elastischen Körper ist das Verhältnis der Spannung als Ursache zur Dehnung als Wirkung konstant und heißt "E-Modul".

Ist das soweit korrekt? Nur mal, um meine grundlegende Vorstellung zu diesem Thema zu überprüfen. *g*

mfG, Integral

kat1

23.10.2003, 00:35

Hmm ja nicht ganz, zumindest wenn ich das damals richtig verstanden habe ;).

Viele Körper verformen sich unter einer Krafteinwirkung zunächst elastisch. Die sogenannten elastischen Körper sind Modellvorstellungen. Aber z.B. haben die meisten Metalle einen mehr oder minder ausgeprägten elastischen Verformungsanteil.

Das Gesetz Spannung=Elastizitätsmodul*Dehnung wird auch Hooke'sches Gesetz genannt. Diese Gleichung lässt sich als Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm darstellen. Der Elastizitätsmodul ist eine materialspezfische Konstante. Um sie zu bestimmen werden einheitliche Bedingungen vorausgesetzt. Im Allgemeinen wird das Ganze im Zugversuch bestimmt, von dem hast Du bestimmt schon gehört. In diesem Fall liegt aber nur eine einachsige Zugbeanspruchung auf den Körper, sagen wir mal in z-Richtung vor. Dann bestimmst Du auch nur das Materialberhalten in dieser Richtung. Bei einem homogenen Stoff sollten der daraus ermittelte E-Modul in allen beliebigen Richtungen gleich sein. Tatsache ist aber, dass sich zum Beispiel bei gewalzten Blechen Vorzugsrichtungen im Material ergeben, die durchaus einen anderen E-Modul aufweisen können. In diesem Sinne ist immer darauf zu achten, unter welchen Bedingungen der E-Modul eines Werkstoffs bestimmt wurde.

Aber ansonsten, die grundlegende Vorstellung vom Thema hast Du ;)