was muss man bei einer ableitung einer betragsfunktion beachten und überhaupt machen? Fallunterscheidung?
z.B. f(x)= 1/27 (|x^3 - x^2|)
detlef
Marvek
09.10.2003, 13:46
Ja Fallunterscheidung, an den "Ecken" ist eine Betragsfunktion nicht differenzierbar.
Also hier:
von - unendlich bis 1 ein, minus davor.
und von 1 bis unendlich betragsstriche weg.
Bei 1 hätten wir dann eine Definitionslücke in der ersten Ableitung...
buba
09.10.2003, 13:48
Kann man umgehen mit d|x|/dx = |x|/x = sgn(x).
01Detlef
09.10.2003, 13:51
also die funktion erst "normal" ableiten:
f'(x) = 1/27 *(|3x²-2x|)
und wie schreibe ich das jetzt auf für x > 0 ,x < 0, x = 0?
x = 0 => f'(x) = 0
x < 0 => f'(x) > 0
x > 0 => f'(x) > 0
?
wie mache ich das dann beim berechnen der extrempunkte?
detlef
01Detlef
09.10.2003, 13:53
das habe ich nicht verstanden, was muss man denn erreichen damit die funktion möglich ist??
Kann man umgehen mit d|x|/dx = |x|/x = sgn(x).
was heißt das denn?
detlef
buba
09.10.2003, 13:54
x³ - x² >= 0
x²(x-1) >= 0
für x >= 1
f(x) = 1/27 (x³-x²) für x >= 1 und 1/27 (-x³+x²) für x < 1.
Diese abschnittsweise definierte Funktion kannst du nun ableiten. Für x = 1 ist f´(x) dann aber nicht mehr definiert! Warum?
Alternative: f´(x) = 1/27 (3x²-2x) sgn(x³-x²), wenn ich mich nicht vertan habe. sng(x) = Signumfunktion (Vorzeichenfunktion).
Marvek
09.10.2003, 14:10
Originalnachricht erstellt von 01Detlef
z.B. f(x)= 1/27 (|x^3 - x^2|)
Also ich versuchs mal ohne sgn Funktion ;)
f(x)= 1/27(|x³-x²|)
3 Fälle vermag ich zu unterscheiden:
1.) x³-x²>0: dann können wir die Betragsstriche weglassen und es gilt: f(x)= 1/27(x³-x²) Ableitung: f'(x)=1/27(3x²-2x)
2.) x³-x²<0: dann muss ein minus davor und Betragsstriche weglassen es gilt: f(x)= -1/27(x³-x²) Ableitung: f'(x)=-1/27(3x²-2x)
3.) x³-x² = 0 dann ist f(x)=0 und die Ableitung auch f'(x)=0
Jetzt müssen wir noch gucken was die Fallunterscheidung für x bedeutet:
1.)
x³-x²>0 |x² ausklammern, wir bewegen uns im reellen, also ist x² positiv
x²(x-1)> 0 |teilen wir durch x² (x² kann hier nicht 0 sein)
x-1 > 0 , d.h. x>1 trifft für Fall 1 zu.
2.)
x³-x²<0 |x² ausklammern, wir bewegen uns im reellen, also ist x² positiv
x²(x-1)<0 |teilen wir durch x² (x² kann hier nicht 0 sein)
x-1<0 , d.h. x<1 und x ungleich 0 trifft für Fall 2 zu.
3.)
x³-x²=0
x1=1
x2;3=0
Fall 3 ist hierbei sonderbar: x2;3=0 haben wir ein Extrema, also ist die Ableitung hier = 0, differenzierbar.
x1=1 hat lt. Rechnung auch den Anstieg =0, aber stimmt nicht, ist nicht eindeutig differenzierbar!
buba
09.10.2003, 14:30
Originalnachricht erstellt von Marvek
x2;3=0 haben wir ein Extrema
Wir haben hier keine zwei Extrem<u>a</u>, sondern ein Extrem<u>um</u> (x2;3 schreibt man bei doppelten Nullstellen nicht).
Die 2. Ableitung ist für x=0 auch definiert mit f´´(0) = 2/27 > 0, somit lokales Minim<u>um</u> bei x=0.
x1=1 hat lt. Rechnung auch den Anstieg =0, aber stimmt nicht, ist nicht eindeutig differenzierbar!
Nein, von links -1/27; von rechts +1/27.
Marvek
09.10.2003, 14:37
AUA, ja natürlich, ExtremUM nicht ExtremA ... :cookie: