Ein liegender Öltank(Zylinder) hat das Gesamtvolumen V.
Einzig bekannt ist Tiefe und Radius.
Meine Frage:Bei abnehmender Höhe x des Tankes müsste sich das Volumen in einer irgendwie gearteten Weise äquivalent zum Volumen Verhalten.
Da weder Winkel alüpha noch Kreisboge bekannt sind soll sich in der Lösung für A (V=A*T) nur x(Füllhöhe) und r befinden befinden.
Mein Ansatz ist der Halbkreis
A=Pi/2*r²*(Term mit x)
lim x=1
Hilft jemand weiter oder wie kann man das rechnen?
Wie sähe eine nebenan angebrachte Volumenskala aus?
Curie
05.10.2003, 23:33
Hi,
Willkommen im Forum,
Suchst du nur eine Formel für das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe und dem Radius?
Als Formel dafür findest du:
V=A(kreis)*höhe=pi*r2*x
Meine Frage:Bei abnehmender Höhe x des Tankes müsste sich das Volumen in einer irgendwie gearteten Weise äquivalent zum Volumen Verhalten.
Bitte erkläre deine Frage nochmal, ich glaube du hast dich verschrieben. "Das Volumen verhält sich äquivalent zum Volumen" ergibt einfach keinen Sinn.
:)
nobody
05.10.2003, 23:49
natürlich:Das Volumen verhält sich äquivalent zum zur Höhe"
"V=A(kreis)*höhe=pi*r2*x"
kann nicht stimmen
es ist ein LIEGENDER Zylinder siehe:
http://www24.brinkster.com/oak2/mathe_kreis.htm
Curie
05.10.2003, 23:55
Stimmt...das hättest du nochmal sagen muessen...an den Tank hab ich garnicht gedacht... :)
lass mal ueberlegen
Curie
06.10.2003, 00:14
Also...was mir dazu einfällt:
1. die supertolle Funktion: f(x)=r2-x2
Sie beschreibt einen Halbkreis über der x-Achse.
2. dann ist deine Höhe jetzt h.
3. Du brauchst eine weitere Funktion, nämlich y=h (g(x)=h). Das ist eine Gerade die parallel zur x-Achse verläuft.
4. Nun musst du nur ein Integral bestimmen:
<font class="serif">∫</font> [f(x)-g(x)] dx mit den Grenzen als Schnittpunkte von g(x) und f(x).
so erhälst du genau die Fläche die ich auf dem Bild weiss gemacht habe. Das musst du dann nur noch mit der Länge des Tanks multiplizieren und du erhälst das Füllvolumen ;)
Falls du Probleme mit dem Integral hast, melde dich ;)
Bei meinem Beispiel habe ich r=4 und h=3 gewählt.
upsidedown
06.10.2003, 00:36
Mehr als Hinweis: In Polarkoordinaten geht das Ganze etwas einfacher.
Curie
06.10.2003, 00:40
Huhu uppi:
Polarkoordinaten?
Mit der Analytischen Geometrie kann ich das noch nicht Lösen....ich kann da noch keine Volumina und Flächeninhalte von Kreisen berechnen ;)
upsidedown
06.10.2003, 00:47
Na, wie man Kreissegmente berechnet weisst du doch, oder? ;)
Und das Dreieck dadrunter wegzukriegen ist auch keine grosse Schwierigkeit mehr. Man muss danach "nur" noch das A=f(α ) in A=f(y) transformieren.
Curie
06.10.2003, 00:51
Das musst du mir mal näher erklären...aber nicht hier... :)
nobody
06.10.2003, 01:40
∫ [f(x)-g(x)] dx mit den Grenzen als Schnittpunkte von g(x) und f(x)
leider keine Ahnung-->Erklärung für Dumme bitte
Da ich gab mir meine Infitesimalgrundlagen mehr oder minder selbst beigebracht, bin aber aus der Übung.
Wäre dankbar für eine rechnerische Darstellung.
lg um4welt
buba
06.10.2003, 02:41
Du willst die Fläche ausrechnen, die zwei Graphen einschließen. Dazu brauchst du erstmal die Schnittpunkte; sie sind die Integrationsgrenzen.
Wenn du f(x) integrierst, erhälst du die Fläche unterhalb des Graphen von f.
Wenn du g(x) integrierst, erhälst du die Fläche unterhalb des Graphen von g.
Wenn du die Flächen voneinander abziehst, hast du die eingeschlossene Fläche. Also kannst du auch gleich f(x)-g(x) integrieren.
Das alles sieht man gut an Curies Grafik in Beitrag 5.
Eine Stammfunktion zu r²-x² ist übrigens 1/2 x r²-x² + 1/2 r² arcsin(x/r) ["Kreisintegral"].
Jetzt brauchst du nur noch das dort Oben einzusetzen...Ich hoffe es hilft ;)
upsidedown
06.10.2003, 17:26
Sieht ja fies aus :eek:
Es geht auch ohne besagtes Kreisintegral - die Grundidee ist, das Kreissegment zu berechnen und den dreieckfoermigen Teil, der zuviel ist, davon abzuziehen.
Das sieht fuer die erste Haelfte so aus:
Fuer einen Viertelkreis:
A = π R^2 α/(2 π ) - x*y/2
y = R^2 - x^2
α = arccos (x/R)
Einsetzen, *2 nehmen (wg Halbkreis), h=R-x fuer die Fuellstandshoehe einsetzen und *L nehmen ergibt
V = L [ R^2 arccos(1-h/R) - (R-h) 2 R h - h ^2 ]
Fuer die obere Haelfte das Gleiche in gruen, aber das muss ich nicht auch noch vorexerzieren ;)
nobody
08.10.2003, 16:47
Danke für Eure Hilfe!
starkstromfunker
19.01.2005, 11:30
Selbes Problem; andere Lösung...
Der "liegende" Zylinder. Z.B ein Heizöltank. Gemessen wird die Füllhöhe des Heizöls mit einem Lot von oben...
Kann ich das auch so rechenen?
Fläche des Kreissegmentes: \LARGE A=\frac{r^2}{2}(\frac{ \pi \alpha }{180^o}-sin \alpha)
Winkel \LARGE\alpha=2arc cos (\frac{(r_0-r)}{r})
Wobei r_0 mein gegebener Radius des Zylinders ist, und r die gemessene Füllhöhe.